[論文レビュー] Tropical Arithmetic and Tropical Matrix Algebra

Zur Izhakian|arXiv (Cornell University)|May 22, 2005

Polynomial and algebraic computation参考文献 32被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、実数の双対コピーと形式的な $-\infty$ 要素を組み込んだ拡張トロピカル半体を導入し、滑らかな行列代数を可能にする。この枠組みでは、正則性と擬似逆行列の明確な定義が可能となり、トロピカル行列が擬似逆行列であるための必要十分条件が示され、古典的線形代数に類似した明示的な逆行列の公式が得られる。主な貢献は、トロピカル行列が擬似逆行列であるための必要十分条件が、トロピカル正則性に一致することの証明である。

ABSTRACT

This paper introduces a new structure of commutative semiring, generalizing the tropical semiring, and having an arithmetic that modifies the standard tropical operations, i.e. summation and maximum. Although our framework is combinatorial, notions of regularity and invertibility arise naturally for matrices over this semiring; we show that a tropical matrix is invertible if and only if it is regular.

研究の動機と目的

• 古典的トロピカル線形代数における根本的な制限、特に標準トロピカル半体 $(\mathbb{R} \cup \{-\infty\}, \max, +)$ の加法の冪等性に起因する、逆行列やランクの堅牢な定義の困難さを解消すること。
• 実数 $\mathbb{R}$、$\mathbb{R}^\nu$、$-\infty$ の直和を用いて、新たな可換半体構造（拡張トロピカル半体と呼ぶ）を構築し、$\mathbb{R}^\nu$ 上で冪等でない加法を許容するように変更されたトロピカル加法 $\oplus$ と乗法 $\odot$ を導入すること。
• この半体上での行列代数を構築し、体上の古典的行列理論に類似した自然な正則性および逆行列の概念を実現すること。
• この代数的枠組みとトロピカル幾何学の関連を確立し、加法的重複度を符号化することで、トロピカル代数的集合の定義を可能にすること。

提案手法

• 標準的な $\mathbb{R}$ 上の順序を拡張する全順序 $\prec$ を備えた、$\mathbb{T} = \mathbb{R} \cup \{-\infty\} \cup \mathbb{R}^\nu$ としての拡張トロピカル半体を定義し、$\max$ と $+$ を一般化する $\oplus$ および $\odot$ 演算を導入する。
• 各 $\mathbb{R}^\nu$ 要素を $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$ に写像する準同型 $\pi: \mathbb{T} \to \overline{\mathbb{R}}$ を導入し、古典的トロピカル代数への橋渡しを可能にする。
• 行列の加法および乗法を $\mathbb{T}$ 上で定義し、行列 $\mathcal{A}$ の擬似逆行列 $\mathcal{A}^{\triangledown}$ を古典的余因子行列の公式に類似した形で構成する：$\mathcal{A}^{\triangledown} = \text{Adj}(\mathcal{A}^2) / |\mathcal{A}^2|$。
• 行列 $\mathcal{A}$ が正則であることと、擬似逆行列をもつこととは同値であり、$\mathcal{A} \mathcal{A}^{\triangledown}$ および $\mathcal{A}^{\triangledown} \mathcal{A}$ が冪等行列であることを示す。
• $\pi_*$ を用いて、拡張半体上の行列と古典的トロピカル行列との関係を確立し、$\pi_*(\widetilde{\mathcal{I}}' \mathcal{A}) = \mathcal{A}$ および $\pi_*(\mathcal{A}^{\triangledown} \widetilde{\mathcal{I}}') = \mathcal{A}^{\triangledown}$ が成り立つことを示す。ここで $\widetilde{\mathcal{I}}'$ は $\mathcal{A} \mathcal{A}^{\triangledown}$ の積である。
• モノイド $M_n(\mathbb{T})$ が E-稠密であることを示し、擬似逆行列が半群論におけるグリーンの関係に類似した性質を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的意味を保ちつつ、加法の冪等性を解体し、より豊かな代数的構造を可能にする一般化されたトロピカル半体を構築できるか？
• RQ2 トロピカル設定における行列の正則性という概念は、古典的線形代数と同様に、擬似逆行列と正確に一致するか？
• RQ3 古典的余因子行列／行列式の公式に類似した、トロピカル行列の擬似逆行列の明示的公式を導出できるか？
• RQ4 拡張トロピカル半体上の行列の代数的性質は、準同型 $\pi$ を通じて、標準トロピカル半体上の行列の性質とどのように関係するか？
• RQ5 双対コピー $\mathbb{R}^\nu$ は、重複度を符号化し、トロピカル代数的集合の定義を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• トロピカル行列 $\mathcal{A}$ が擬似逆行列をもつための必要十分条件は、それがトロピカル正則であることである。これは、この枠組みにおいて代数的正則性と逆行列性の根本的な同等性を確立する。
• 正則行列 $\mathcal{A}$ の擬似逆行列 $\mathcal{A}^{\triangledown}$ は明示的に $\text{Adj}(\mathcal{A}^2) / |\mathcal{A}^2|$ で与えられ、$\mathcal{A}^2 = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ の場合、$\mathcal{A}^{\triangledown} = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}(-9)^\nu$ が得られ、$(\mathcal{A}^{\triangledown})^2 \neq (\mathcal{A}\mathcal{A})^{\triangledown}$ であることが示される。
• $\mathcal{A} \mathcal{A}^{\triangledown}$ および $\mathcal{A}^{\triangledown} \mathcal{A}$ は冪等行列であるため、モノイド $M_n(\mathbb{T})$ の E-稠密性が確認される。
• 準同型 $\pi_*$ は、擬似逆行列関係を古典的設定に写像する：$\pi_*(\widetilde{\mathcal{I}}' \mathcal{A}) = \mathcal{A}$ および $\pi_*(\mathcal{A}^{\triangledown} \widetilde{\mathcal{I}}') = \mathcal{A}^{\triangledown}$ が成り立ち、ここで $\widetilde{\mathcal{I}}' = \mathcal{A} \mathcal{A}^{\triangledown}$ である。
• 行列 $\mathcal{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の場合、擬似逆行列は $\mathcal{A}^{\triangledown} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ であり、$\mathcal{A} \mathcal{A}^{\triangledown} = \begin{pmatrix} 0 & (-2)^\nu \\ 1^\nu & 0 \end{pmatrix}$ となる。これは $\mathbb{R}^\nu$ が重複度を符号化する役割を果たしていることを示している。
• この枠組みは、$\oplus$ 演算に符号化された加法的重複度を用いて、トロピカル代数的集合の自然な定義を可能にし、トロピカル多様体の幾何的解釈を豊かにする。