[論文レビュー] Tropical Geometry and Piecewise-Linear Approximation of Curves and Surfaces on Weighted Lattices

Petros Maragos, Emmanouil Theodosis|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Polynomial and algebraic computation参考文献 79被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、重み付きラティス上の一般化されたmax-⋆代数を導入し、トロピカル幾何学と数学的モルフォロジーを統一することで、モルフォロジカル接合を用いた曲線および曲面の最適な区分線形近似を可能にする。max-アフィン回帰および凸フィッティングのための効率的アルゴリズムが導出され、max-plusおよびmin-plusフレームワークが任意の分配的演算⋆に拡張される。

ABSTRACT

Tropical Geometry and Mathematical Morphology share the same max-plus and min-plus semiring arithmetic and matrix algebra. In this chapter we summarize some of their main ideas and common (geometric and algebraic) structure, generalize and extend both of them using weighted lattices and a max-$\star$ algebra with an arbitrary binary operation $\star$ that distributes over max, and outline applications to geometry, machine learning, and optimization. Further, we generalize tropical geometrical objects using weighted lattices. Finally, we provide the optimal solution of max-$\star$ equations using morphological adjunctions that are projections on weighted lattices, and apply it to optimal piecewise-linear regression for fitting max-$\star$ tropical curves and surfaces to arbitrary data that constitute polygonal or polyhedral shape approximations. This also includes an efficient algorithm for solving the convex regression problem of data fitting with max-affine functions.

研究の動機と目的

• 共通のmax-plus/min-plus半環算術およびラティスに基づく代数を用いて、トロピカル幾何学と数学的モルフォロジーを統一する。
• 重み付きラティスと任意の二項演算⋆がmaxに分配的である一般化されたmax-⋆代数を用いて、両分野を拡張する。
• 重み付きラティス上の射影としてのモルフォロジカル接合（随伴対）を用いて、max-⋆方程式の最適解を導出する。
• 任意のデータ（多角形的・多面体的近似を含む）に対して、max-⋆トロピカル曲線および曲面の最適な区分線形回帰を可能にする。
• 一般化されたフレームワークを活用し、max-アフィン関数を用いた凸回帰のための効率的アルゴリズムを提供する。

提案手法

• ⋆が∨に分配的である完全ラティス (K, ∨, ∧, ⋆, ⋆′) 上にmax-⋆代数を定義し、max-plusおよびmin-plus算術を一般化する。
• 点ごとの演算を用いてスカラー演算を領域E上の関数へ拡張：(F ∨ G)(x) = F(x) ∨ G(x), (a ⋆ F)(x) = a ⋆ F(x)。
• ⋆-平行移動τ_a(F)(x) = a ⋆ F(x)と双対⋆′-平行移動τ′_a(F)(x) = a ⋆′ F(x)を導入し、これらの操作における不変性を定義する。
• 膨張δと収縮εの演算子をそれぞれΔ⋆IおよびE⋆Iとして定義し、カーネル表現H(x,y) = δ(q_y)(x)およびH′(x,y) = ε(q′_y)(x)を導入する。
• 統一的な表現を導出：δ(F)(x) = ⋁_y H(x,y) ⋆ F(y)およびε(F)(x) = ⋀_y H′(x,y) ⋆′ F(y)とし、畳み込みに類似した演算を一般化する。
• モルフォロジカル接合（随伴対）を用いてmax-⋆方程式を解き、データをトロピカル曲線／曲面に射影することで、最適なフィッティングを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トロピカル幾何学と数学的モルフォロジーを、一般化された代数的枠組みを通じて体系的に統一する方法は何か？
• RQ2 重み付きラティスは、max-plusおよびmin-plus代数を任意の分配的演算⋆に拡張するために果たす役割は何か？
• RQ3 重み付きラティス上のモルフォロジカル接合を用いて、曲線および曲面の最適な区分線形近似を達成する方法は何か？
• RQ4 このフレームワークは、max-アフィン関数を用いて凸回帰問題を効率的に解けるか？
• RQ5 一般化されたmax-⋆代数における膨張および収縮演算子の構造は何か？そして、それらは最適なデータフィッティングをどのように可能にするか？

主な発見

• 本稿では、共通する半環およびラティス構造を通じて、トロピカル幾何学と数学的モルフォロジーを統一する一般化されたmax-⋆代数を重み付きラティス上に確立する。
• 膨張δおよび収縮εの演算子がΔ⋆IおよびE⋆Iに不変であるための必要十分条件が証明され、そのカーネル表現がδ(F)(x) = ⋁_y H(x,y) ⋆ F(y)およびε(F)(x) = ⋀_y H′(x,y) ⋆′ F(y)を満たすことが示される。
• 最適なmax-⋆方程式の解は、重み付きラティス上の射影として機能するモルフォロジカル接合を用いて導出される。
• 本フレームワークにより、任意のデータに対するmax-⋆トロピカル曲線および曲面の最適な区分線形フィッティングが可能となり、多角形的・多面体的近似が得られる。
• max-アフィン関数を用いた凸回帰のための効率的アルゴリズムが提供され、一般化された代数的構造が活用される。
• 理論はLog-Sum-Exp近似およびMaslovのデキアンティゼーションを一般化しており、max-plus半環が族S_θの同型半環の極限θ↓0として現れることを示している。