[論文レビュー] Tropical Geometry of Phylogenetic Tree Space: A Statistical Perspective

Anthea Monod, Bo Lin+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Morphological variations and asymmetry参考文献 83被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、射影トーラス上のトロピカル距離を用いて、系統樹空間に対するトロピカル幾何的枠組みを提案する。このアプローチにより、統計的解析が明確に定義され、シミュレートされたデータおよび実世界のインフルエンザデータ解析において、標準的なBHv木空間に比べて計算効率と性能が向上する。

ABSTRACT

Phylogenetic trees are the fundamental mathematical representation of evolutionary processes in biology. They are also objects of interest in pure mathematics, such as algebraic geometry and combinatorics, due to their discrete geometry. Although they are important data structures, they face the significant challenge that sets of trees form a non-Euclidean phylogenetic tree space, which means that standard computational and statistical methods cannot be directly applied. In this work, we explore the statistical feasibility of a pure mathematical representation of the set of all phylogenetic trees based on tropical geometry for both descriptive and inferential statistics, and unsupervised and supervised machine learning. Our exploration is both theoretical and practical. We show that the tropical geometric phylogenetic tree space endowed with a generalized Hilbert projective metric exhibits analytic, geometric, and topological properties that are desirable for theoretical studies in probability and statistics and allow for well-defined questions to be posed. We illustrate the statistical feasibility of the tropical geometric perspective for phylogenetic trees with an example of both a descriptive and inferential statistical task. Moreover, this approach exhibits increased computational efficiency and statistical performance over the current state-of-the-art, which we illustrate with a real data example on seasonal influenza. Our results demonstrate the viability of the tropical geometric setting for parametric statistical and probabilistic studies of sets of phylogenetic trees.

研究の動機と目的

• 非ユークリッド的系統樹空間における標準的統計手法の限界を克服するため、トロピカル幾何的代替手法を導入すること。
• 確率的・統計的解析が可能となる数学的に整合性のある距離空間（パーム木空間）を、一般化されたヒルベルトプロジェクト型距離を備えて構築すること。
• トロピカル幾何が、系統樹の集合における記述統計および推論統計の両面で実用的であることを示すこと。
• 計算効率および統計的性能の観点から、トロピカルアプローチと確立されたBHv木空間を比較すること。
• 今後、トロピカル幾何を用いた系統樹のパrametric統計的研究の基盤を築くこと。

提案手法

• 本稿では、一般化されたヒルベルトプロジェクト型距離（すなわちトロピカル距離）を備えた、R^n / R1 上のトロピカル射影トーラスの部分空間としてパーム木空間を定義する。
• この距離空間が、確率論および統計学に必要な、完備性や測地線構造を含む、主要な幾何的・位相的・解析的性質を満たすことを確立する。
• 著者らは、木データの解析のために、古典的手法（主成分分析（PCA）および線形判別分析（LDA））をトロピカル距離空間内で適用する。
• シミュレートされたデータおよび季節性インフルエンザ配列の実データに対して、BHv空間との性能比較を数値実験で行う。
• トロピカル距離が商空間上で適切に振る舞い、従来の群商構成で見られる擬距離の問題を回避することが示された。
• 本アプローチは、既知のトロピカル代数幾何の結果を活用し、木空間における統計的推論に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トロピカル幾何は、有効な統計的推論を可能にする、適切に定義された距離空間を系統樹に提供できるか？
• RQ2 計算効率および統計的性能の観点から、トロピカル距離空間はBHv木空間と比べてどう異なるか？
• RQ3 PCA や LDA といった古典的手法が、トロピカル幾何的設定において意味的に適用可能である程度はどの程度か？
• RQ4 実世界の系統樹データ解析において、トロピカルアプローチは、現在の最先端技術に比べてより正確または効率的であると示せるか？
• RQ5 統計モデリングを支えるために、トロピカル木空間の幾何的・位相的・解析的性質は何か？

主な発見

• パーム木空間におけるトロピカル距離は、商空間上で適切に定義されており、以前の群商構成で見られた擬距離の問題を回避する。
• この空間は、確率論および統計的推論に適した、望ましい解析的・幾何的・位相的性質を有する。
• 季節性インフルエンザの実データ応用において、トロピカル幾何的アプローチはBHv空間に比べて計算効率が向上した。
• PCAおよびLDAの両タスクにおいて、トロピカル手法はBHv空間を上回る統計的性能を示した。
• パーム木空間における測地線の非一意性は、有用な統計的解析を妨げない。なぜなら、依然として意味のあるクラスタリングや推論が可能だからである。
• 本研究では、今後のパラメトリック統計的手法の基盤を確立し、特にトロピカルフリーネッジ平均や木空間上での明示的パラメトリック確率分布の開発に寄与する。