[論文レビュー] Tropical Homotopy Continuation

Anders Jensen|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、記号的摂動とリバースサーチを用いて、n 変数の正方トロピカル多項式系のすべての孤立解を計算する、新しいトロピカルホモトピー継続法を提案する。この手法により、混合分割における混合細胞の正確でメモリリークのない並列化可能な列挙が可能となり、数値代数幾何学における数値再生技術をトロピカル化することで、特に Katsura クラスの例において競争力のある性能を達成する。

ABSTRACT

Inspired by numerical homotopy methods we propose a combinatorial homotopy algorithm for finding all isolated solutions to a tropical polynomial systems of n tropical polynomials in n variables. In particular, a tropicalisation of the numerical "regeneration" technique leads to a new method for enumerating the mixed cells of a mixed subdivision. This tropical approach shares some ideas with the recent algorithm by Malajovich. However, our algorithm has several advantages. It is memoryless, parallelisable as a tree traversal, exact and relies on symbolic perturbations. Our computational experiments show that the method is competitive and especially fast on the Katsura class of examples.

研究の動機と目的

• n 変数の正方トロピカル多項式系を解くための正確で組合せ的なホモトピー法の開発。
• 混合分割における混合細胞の効率的かつ並列化可能な列挙を可能にすること。これは、多面体ホモトピー法の主要ステップである。
• 数値代数幾何学における数値再生技術をトロピカル化し、記号的摂動を用いてトロピカル設定に適応すること。
• 任意精度算術に依存を最小限に抑える、記憶領域を必要とせずリバースサーチに基づく走査を提供すること。
• 特に Katsura や Chandra のような構造的クラスに対して、既存の混合細胞列挙手法に比べて計算効率と正確性を向上させること。

提案手法

• 数値ホモトピー継続法にインspiredされ、係数が連続的に変化する際の解の変化を追跡するトロピカルホモトピー法を提案。
• 正確性を保証し数値的不安定性を回避するため、記号的摂動を用い、浮動小数点演算の代わりに正確な整数演算を採用。
• リバースサーチを適用して解の木を記憶領域を必要とせず並列化可能に走査し、混合細胞構造の効率的探索を可能にする。
• 係数パラメータを無限大に徐々に変形することで、混合細胞を計算するため、数値再生技術をトロピカル化。
• ビステラー・フリップと混合細胞錐構造を用いて、係数変化に伴うトロピカル超曲面およびその交差の変化をモデル化。
• 動的負荷分散が可能で、複数プロセッサ間での高いスケーラビリティを実現する木走査戦略を実装。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正方トロピカル多項式系を解くための正確で、記憶領域を必要とせず並列化可能なトロピカルホモトピー法を構築可能か？
• RQ2 数値代数幾何学における数値再生技術を、混合細胞の列挙に効果的にトロピカル化できるか？
• RQ3 記号的摂動は、トロピカル系における混合細胞列挙の精度と性能にどのような影響を与えるか？
• RQ4 リバースサーチをトロピカル解の木に効果的に適用することで、スケーラブルかつ並列計算を可能にできるか？
• RQ5 提案手法の性能は、異なる多項式族における速度とメモリ使用量の観点から、既存のアルゴリズムと比較してどうなるか？

主な発見

• スレッド数を 1 から 16 に増加させた際、最大 14.2 倍の高速化を達成し、Chandra および Katsura クラスで一貫した性能向上を示した。
• Katsura クラスでは、特に大きなインスタンスにおいて、競合手法を最大 2 時代も上回った。
• 記号的摂動の使用により、任意精度算術（GMP）への依存が軽減され、ヒープ割り当てに起因する性能ボトルネックが最小限に抑えられた。
• 32 ビットオーバーフローが $ B_i $-ベースの表現で一般的であるのを回避し、数値的安定性と性能が向上した。
• Gaukwa クラスでは、$ B_i $ を用いた場合、Gaukwa 8 で精度の問題が早期に発生するが、$ L_i $-ベースのアプローチによりこれを緩和できた。
• 本アルゴリズムは、混合細胞を正確かつ効率的に計算でき、ほとんどのテストケースで [17] や [15] と同等またはそれ以上の性能を発揮した。Cyclic および Eco クラスでは若干性能が劣るが、これは例外的である。