[論文レビュー] Tropical linear programming and parametric mean payoff games

Stéphane Gaubert, Ricardo D. Katz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2011

Polynomial and algebraic computation被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、最適性および非有界性を無限小のゲーム理論的性質を持つ戦略によって証明する、パラメトリック平均報酬ゲームに還元することでトロピカル線形計画法の枠組みを導入する。最適性と非有界性は、無限小の性質を持つ戦略によって証明される。また、補助ゲーム問題を繰り返し解くニュートンに類似したアルゴリズムを提案し、戦略をトロピカル線形計画法におけるラグランジュ乗数の類似物として確立する。

ABSTRACT

Tropical polyhedra have been recently used to represent disjunctive invariants in static analysis. To handle larger instances, the tropical analogues of classical linear programming results need to be developed. This motivation leads us to study a general tropical linear programming problem. We construct an associated parametric mean payoff game problem, and show that the optimality of a given point, or the unboundedness of the problem, can be certified by exhibiting a strategy for one of the players having certain infinitesimal properties (involving the value of the game and its derivative) that we characterize combinatorialy. In other words, strategies play in tropical linear programming the role of Lagrange multipliers in classical linear programming. We use this idea to design a Newton-like algorithm to solve tropical linear programming problems, by reduction to a sequence of auxiliary mean payoff game problems.

研究の動機と目的

• 静的解析におけるより大きな選言的不変量を扱うために、古典的線形計画法のトロピカル版を開発すること。
• トロピカル線形計画法問題における最適性および非有界性の証明の課題に対処すること。
• 組合せ的戦略を通じて、トロピカル線形計画法とパラメトリック平均報酬ゲームの間の関係を確立すること。
• トロピカル線形計画法を平均報酬ゲーム問題の系列に還元するニュートンに類似したアルゴリズムを設計すること。

提案手法

• 論文は、トロピカル線形計画法問題に関連するパラメトリック平均報酬ゲームを構築する。
• ゲーム価値とその微分に関する特定の無限小性質を持つ戦略を用いて、最適性および非有界性を特徴付ける。
• ゲーム問題における戦略は、古典的線形計画法におけるラグランジュ乗数のトロピカル版として機能する。
• アルゴリズムはニュートンに類似した更新スキームを用い、補助的な平均報酬ゲーム問題の系列を解く。
• 各反復で最適性の確認または非有界性の検出に、戦略に関する組合せ的条件を用いる。
• 平均報酬ゲームへの還元により、既存のゲーム理論的アルゴリズムを用いてトロピカル線形計画問題を解くことが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてトロピカル線形計画法問題をパラメトリック平均報酬ゲームに還元できるか？
• RQ2 平均報酬ゲームの戦略のどの組合せ的性質が、トロピカル線形計画法における最適性および非有界性に対応するか？
• RQ3 平均報酬ゲームの戦略は、トロピカル線形計画法におけるラグランジュ乗数の類似物として機能できるか？
• RQ4 これらのゲーム理論的還元を用いて、どのようにニュートンに類似したアルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 トロピカル線形計画法における最適性を証明するための戦略の無限小的条件は何か？

主な発見

• トロピカル線形計画法における与えられた解の最適性は、ゲーム価値とその微分に関連する特定の無限小的性質を持つ戦略によって証明できる。
• トロピカル線形計画法問題の非有界性も、関連するゲームにおける戦略的性質によって同様に証明できる。
• パラメトリック平均報酬ゲームにおける戦略は、古典的線形計画法におけるラグランジュ乗数の役割を果たす。
• 提案されたニュートンに類似したアルゴリズムは、トロピカル線形計画法を補助的な平均報酬ゲーム問題の系列に還元する。
• この手法は、トロピカル線形計画法の実行可能性および最適性に対する構成的で組合せ的な証明メカニズムを提供する。
• この枠組みにより、ゲーム理論的アルゴリズムを活用してトロピカル線形計画問題のスケーラブルな解法が可能になる。