[論文レビュー] Tropical optimization problems

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 41被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非線形目的関数と線形制約を伴うidempotent半体上での新しいおよび既存のトロピカル最適化問題に対して、直接的で閉形式の解を提示する。既知の手法を拡張し、トロピカル行列代数とスペクトル理論を用いて、完全な解をコンactなベクトル形式で導出する。主な結果として、最適値の明示的表現および一般解集合の表現が得られる。

ABSTRACT

We consider optimization problems that are formulated and solved in the framework of tropical mathematics. The problems consist in minimizing or maximizing functionals defined on vectors of finite-dimensional semimodules over idempotent semifields, and may involve constraints in the form of linear equations and inequalities. The objective function can be either a linear function or nonlinear function calculated by means of multiplicative conjugate transposition of vectors. We start with an overview of known tropical optimization problems and solution methods. Then, we formulate certain new problems and present direct solutions to the problems in a closed compact vector form suitable for further analysis and applications. For many problems, the results obtained are complete solutions.

研究の動機と目的

• idempotent半体上での非線形目的関数と線形制約を伴うトロピカル最適化問題を扱う。
• 新しいおよび既存の問題に対して、完全で閉形式のベクトル形式の解を提供することにより、既存の解法を拡張する。
• チェビシェフ近似と乗法的随伴転置を含む問題の解法技術を統一的かつ一般化する。
• 最適解が存在し、行列のスペクトル半径と制約行列の観点から完全に特徴付けられるための条件を確立する。
• 解析的に取り扱える解を提供することで、スケジューリング、ロケーション分析、離散イベントシステムへの実用的応用を支援する。

提案手法

• max-plusまたはmin-plus演算を伴う半体上でのトロピカル（idempotent）代数を用い、最適化問題をモデル化する。
• 行列のスペクトル理論を適用して、多くの問題において最適値を支配するスペクトル半径を特定する。
• 非線形目的関数を代数的操作に適した形に表現するために、乗法的随伴転置演算子を用いる。
• スター閉包作用素（A*）と逆スケーリング（θ⁻¹A）を用いて、一般解を導出する。
• 不等式を含む行列とベクトルを用いた制約を課し、線形プログラミングのトロピカル版を用いて解く。
• 行列トレースと経路に基づく表現の結果を組み合わせ、サイクル重みと経路和の観点から最適値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形目的関数と線形制約を伴うトロピカル最適化問題は、どのように閉形式で解けるか？
• RQ2 トロピカル代数において完全な解が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ3 行列のスペクトル的性質は、トロピカル最適化における最適値にどのように影響を与えるか？
• RQ4 乗法的随伴転置演算子は、トロピカル設定において非線形目的関数をどのようにモデル化できるか？
• RQ5 行列不等式を含む制約は、どのようにトロピカル行列代数を用いて体系的に解けるか？

主な発見

• 問題（15）の最適値は、μ = λ ⊕ ⨁ₘ₌₁ⁿ (q⁻Aᵐ⁻¹p)¹⁄⁽ᵐ⁺¹⁾ ⊕ c で与えられ、ここでλはAのスペクトル半径である。
• 問題（16）では、最小値がθ = ⨁ₖ₌₁ⁿ ⨁₀≤ᵢ₀₊⋯₊ᵢₖ≤ₙ₋ₖ tr¹⁄ᵏ(Bⁱ⁰(A Bⁱ¹⋯A Bⁱᵏ)(I⊕gh⁻C)) で与えられ、一般解は(θ⁻¹A⊕B)*uを含む。
• 特別な場合（17）では、最適値はθ = λ ⊕ ⨁ₖ₌₁ⁿ⁻¹ ⨁₁≤ᵢ₁₊⋯₊ᵢₖ≤ₙ₋ₖ tr¹⁄ᵏ(A Bⁱ¹⋯A Bⁱᵏ) に簡略化される。
• 問題（18）では、最適値はθ = λ ⊕ ⨁ₖ₌₁ⁿ (h⁻Aᵏg)¹⁄ᵏ で与えられ、解集合は(θ⁻¹A)*u で表され、g ≤ u ≤ (h⁻(θ⁻¹A)*)⁻ である。
• 問題（19）では、θ = λ ⊕ ⨁ₖ₌₁ⁿ⁻¹ ⨁₁≤ᵢ₁₊⋯₊ᵢₖ≤ₙ₋ₖ tr¹⁄ᵏ(A Bⁱ¹⋯A Bⁱᵏ) が得られ、解はx = (θ⁻¹A⊕B)*u かつu ≥ θ⁻¹p⊕g で与えられる。
• すべての解は、実世界のシステムにおけるさらなる分析や応用に適した、コンactで一般的なベクトル形式で表現される。