[論文レビュー] Truly Asymptotic Lower Bounds for Online Vector Bin Packing

János Balogh, Leah Epstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2020

Optimization and Packing Problems参考文献 22被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、d ≥ 3 に対して、オンラインベクトルビンパッキングの真の漸近的下界を確立し、漸近的競合比が Ω(d / log²d) であることを証明した。著者らは、すべての次元においてタイトな下界を導出するために、新しい適応的構成と組合せ的議論を導入し、従来の結果を大幅に改善し、漸近的意味での競合比の成長の順序を解消した。

ABSTRACT

In this work, we consider online vector bin packing. It is known that no algorithm can have a competitive ratio of $o(d/\log^2 d)$ in the absolute sense, though upper bounds for this problem were always shown in the asymptotic sense. Since variants of bin packing are traditionally studied with respect to the asymptotic measure and since the two measures are different, we focus on the asymptotic measure and prove new lower bounds on the asymptotic competitive ratio. The existing lower bounds prior to this work were much smaller than $3$ even for very large dimensions. We significantly improve the best known lower bounds on the asymptotic competitive ratio (and as a byproduct, on the absolute competitive ratio) for online vector packing of vectors with $d \geq 3$ dimensions, for every such dimension $d$. To obtain these results, we use several different constructions, one of which is an adaptive construction showing a lower bound of $Ω(\sqrt{d})$. Our main result is that the lower bound of $Ω(d/\log^2 d)$ on the competitive ratio holds also in the asymptotic sense. The last result requires a careful adaptation of constructions for online coloring rather than simple black-box reductions.

研究の動機と目的

• 高次元におけるオンラインベクトルビンパッキングの漸近的競合比に関する既知の上界と下界の差を埋める。
• d ≥ 3 のすべての次元に対して、タイトで非自明な漸近的競合比の下界を確立し、d が大きくても 3 未満であった従来の結果を改善する。
• 特に適応的構成を含む、より強い下界をもたらす新しい構成を開発する。これにより、Ω(√d) および最終的に Ω(d/log²d) の下界が得られる。
• 絶対的意味での既知の Ω(d/log²d) の下界が漸近的意味でも成り立つことを示し、ブラックボックス還元を超えた注意深い適合が必要である。

提案手法

• オンラインアルゴリズムの競合比を高めるように設計された、適応的入力構成の族を設計・分析する。
• 組合せ最適化とビンパッキングの実現可能性に関する議論を用いて、最適なオフラインコストの上界とオンラインアルゴリズムのコストの下界を求める。
• 第3部のアイテムを受け入れられないビンを追跡するための補助変数 (X′, Y′) を導入し、第3部の複数の敵対的選択についての和を取る。
• アイテムのサイズと成分の分布を制御した多段階入力列を用いて、オンラインアルゴリズムにとって最悪の状況をシミュレートする。
• 制約（例：3X + 2Y + Z = 6N、Q ≥ 2N）から導かれる不等式を用い、第3部の10通りの配置すべてについて和を取ることで、R に対するグローバルな下界を導出する。
• 不等式の代数的変形により変数を消去し、漸近的競合比 R の最終的な下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元のベクトルに対するオンラインベクトルビンパッキングの真の漸近的競合比は何か？
• RQ2 絶対的意味での既知の Ω(d/log²d) の下界は、漸近的競合比に対しても拡張可能か？
• RQ3 特定の小さな d や大きな d の値に対して、どの構成が最も強い下界をもたらすか？
• RQ4 適応的で多段階の入力列をどのように設計すれば、オンラインコストを高く保ちながらオフラインコストを低く保てるか？

主な発見

• オンラインベクトルビンパッキングの漸近的競合比は、少なくとも Ω(d / log²d) であることが示され、このオーダーの最初の真の漸近的下界が確立された。
• d > 16 の場合、ASYM(d) の下界は少なくとも d−1 / (8(log₂d)³) である。これは従来の境界を大幅に改善している。
• 十分に大きな d に対して、漸近的競合比の下界が d / (211·(log₂d)²) であることを証明した。
• ある構成により、すべての d ≥ 2 に対して ⌊√d−1⌋+2 / 2 の下界が得られ、d = 14 の場合に 3 の下界が得られる。
• d = 3 の場合、漸近的競合比の下界が 9/4 = 2.25 であることが確立された。
• d = 8 の場合、漸近的競合比の下界が 76/29 ≈ 2.620689655 であることが証明され、この次元における既知で最もタイトな下界となった。