[論文レビュー] Truncated moment problems for representing densities and the Riesz-Haviland theorem

Călin-Grigore Ambrozie|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Risk and Portfolio Optimization被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、リエシ・ハヴィランドの定理の断片的モーメント問題への応用を提示し、モーメント列がルベーグ測度に関して絶対連続な代表密度をもつための条件を確立する。主な貢献は、サポートに自然な正則性仮定を課したもとで、非負のボレル代表測度をもつモーメント列の凸錐の内側の稠密な内部を特徴づけることにある。

ABSTRACT

We give a version of the Riesz-Haviland theorem for truncated moments problems, characterizing the existence of the representing measures that are absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. The existence of such representing densities describes the dense interior of the convex cone of all data having nonnegative Borel representing measures. A natural regularity assumption on the support is required.

研究の動機と目的

• 断片的モーメント問題における絶対連続な代表測度へのリエシ・ハヴィランドの定理の拡張を図ること。
• モーメント列がルベーグ測度に関して絶対連続な代表密度をもつための条件を特定すること。
• 非負のボレル代表測度をもつモーメント列の凸錐の内側の稠密な内部を特徴づけること。
• 代表密度の存在を保証するためのサポートに関する自然な正則性仮定を組み込むこと。

提案手法

• 測度の空間における双対問題として断片的モーメント問題を定式化すること。
• リエシ・ハヴィランドの定理を基盤として、ルベーグ測度に関して絶対連続な代表測度の存在条件を導出すること。
• 関数解析的手法を用いて、密度をもつモーメント列の集合の閉包を特徴づけること。
• サポートに正則性条件を組み込んで、滑らかな代表密度の存在を保証すること。
• モーメント列と連続関数の間の双対性を用いて、必要十分条件を導出すること。
• 代表密度の存在と、双対空間内の特定のクラスの試験関数における正値性条件との同値性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断片的モーメント列がルベーグ測度に関して絶対連続な代表密度をもつための条件は何か？
• RQ2 リエシ・ハヴィランドの定理は、絶対連続な測度をもつ断片的モーメント問題の設定にどのように適応できるか？
• RQ3 非負のボレル測度をもつモーメント列の凸錐の稠密な内部と、ルベーグ測度に関して絶対連続な代表測度をもつものとの関係は何か？
• RQ4 サポートに対する正則性仮定が、このような代表密度の存在にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿では、断片的モーメント列がルベーグ測度に関して絶対連続な代表密度をもつための必要十分条件を確立した。
• ルベーグ測度に関して絶対連続な代表測度をもつモーメント列の集合は、非負のボレル代表測度をもつモーメント列の凸錐の内側の稠密な内部をなす。
• このような代表密度の存在は、双対空間内の特定のクラスの試験関数における正値性条件と同値である。
• サポートに対する正則性仮定は、断片的モーメント問題設定における滑らかな密度の存在を保証するために不可欠である。
• 本結果により、代表測度が絶対連続である場合のモーメント錐の稠密な内部が完全に特徴づけられた。
• 本フレームワークにより、古典的なリエシ・ハヴィランドの定理が断片的かつ絶対連続な場合に拡張され、モーメント問題に対する新たな道具が提供された。