[論文レビュー] Trust Region Subproblem with a Fixed Number of Additional Linear Inequality Constraints has Polynomial Complexity

Yong Hsia, Ruey-Lin Sheu|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 18被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、追加の線形不等式制約を固定された数 $m$ 個もつ信頼領域部分問題（$Τ_m$）が、各固定された $m$ に対して多項式時間の計算量を有することを確立している。Martínezによる局所的でないグローバル最小解の特徴付けと、標準的信頼領域部分問題（$Τ_0$）への帰納的還元を活用することで、$Τ_m$ を解くことは、$m$ に関して多項式的に増加する数の $Τ_0$ 問題の解法に帰着されることが示された。これは、最悪ケースでは $m$ に対して指数関数的に依存するが、$m$ を固定すれば依然として多項式的であるため、固定された $m$ に対して多項式時間の計算量が保証される。さらに、正確なSDP緩和のための次元条件を改善し、従来の条件よりも厳密に強い条件を示している。

ABSTRACT

The trust region subproblem with a fixed number m additional linear inequality constraints, denoted by (Tm), have drawn much attention recently. The question as to whether Problem (Tm) is in Class P or Class NP remains open. So far, the only affirmative general result is that (T1) has an exact SOCP/SDP reformulation and thus is polynomially solvable. By adopting an early result of Martinez on local non-global minimum of the trust region subproblem, we can inductively reduce any instance in (Tm) to a sequence of trust region subproblems (T0). Although the total number of (T0) to be solved takes an exponential order of m, the reduction scheme still provides an argument that the class (Tm) has polynomial complexity for each fixed m. In contrast, we show by a simple example that, solving the class of extended trust region subproblems which contains more linear inequality constraints than the problem dimension; or the class of instances consisting of an arbitrarily number of linear constraints is NP-hard. When m is small such as m = 1,2, our inductive algorithm should be more efficient than the SOCP/SDP reformulation since at most 2 or 5 subproblems of (T0), respectively, are to be handled. In the end of the paper, we improve a very recent dimension condition by Jeyakumar and Li under which (Tm) admits an exact SDP relaxation. Examples show that such an improvement can be strict indeed.

研究の動機と目的

• 固定された $m$ に対して、追加の線形不等式制約をもつ信頼領域部分問題 $Τ_m$ の計算量を解明すること。
• 一般ケースが未解決の状態であるにもかかわらず、$Τ_m$ がクラスPかクラスNPに属するかを特定すること。
• 固定された $m$ に対して多項式時間の計算量を有する、構成的で帰納的なアルゴリズムを設計し、$Τ_m$ を標準的信頼領域部分問題（$Τ_0$）の系列に還元すること。
• 既存の $Τ_m$ の正確なSDP緩和のための十分条件を、[NewDC] と呼ばれる新しい次元条件を導入することで改善すること。この条件は、従来のものよりも厳密に強い。

提案手法

• 古典的信頼領域部分問題における局所的でないグローバル最小解の特徴付けを提供するMartínezの結果を活用し、$Τ_m$ を $Τ_0$ 部分問題への帰納的還元を導く。
• 任意の $Τ_m$ インスタンスを有限個の $Τ_0$ 問題に還元する帰納的スキームを採用し、部分問題の数は $m$ に対して指数関数的に増加するが、$m$ を固定すれば依然として多項式的である。
• 隠れた凸性と行列ペンシル解析の概念を用いて、$Τ_m$ のSDP緩和が正確であるときを同定する。
• 行列 $[Q - \lambda_{\min}(Q)I_n \mid a_1 \mid \cdots \mid a_m]$ のランクを用いて定義される新しい次元条件 [NewDC] を導入し、正確なSDP緩和の十分条件とする。
• 行列ランク1分解とSlaterの条件を用いて、SDP緩和のタイトさを分析する。
• 反例を用いて、[NewDC] がJeyakumarとLi（2014）の条件 [DC] よりも厳密に強いことを検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $m$ に対して、追加の線形不等式制約 $m$ 個をもつ信頼領域部分問題 $Τ_m$ は、各 $m$ に対して多項式時間で解けるか？
• RQ2 古典的信頼領域部分問題における局所的でないグローバル最小解の構造を活用することで、$Τ_m$ をより単純な $Τ_0$ 部分問題に還元できるか？
• RQ3 どのような条件下で $Τ_m$ のSDP緩和が正確になるか？ そして、これらの条件を改善できるか？
• RQ4 任意の制約数をもつクラス $\bigcup_{m=1}^\infty \mathrm{T}_m$ はNP困難か？ もしそうならば、固定された $m$ との対比はなぜ生じるのか？

主な発見

• 固定された各 $m$ に対して、追加の線形不等式制約 $m$ 個をもつ信頼領域部分問題 $Τ_m$ は、多項式時間の計算量を有する。これは、必要な $Τ_0$ 部分問題の数が $m$ に関して多項式的に増加するためである。
• Martínezによる局所的でないグローバル最小解の特徴付けに基づく帰納的還元スキームにより、$Τ_m$ は最大で $2^m$ 個の $Τ_0$ インスタンスの解法に還元可能であり、$m$ を固定すれば多項式的である。
• $m = n+1$ の場合、すなわち制約数が次元 $n$ を1つ超える場合のクラス $Τ_{n+1}$ はNP困難である。これは、最大安定集合問題のようなNP困難問題をエンコード可能であるためである。
• 行列 $[Q - \lambda_{\min}(Q)I_n \mid a_1 \mid \cdots \mid a_m]$ のランクに基づく新しい次元条件 [NewDC] は、JeyakumarとLiの従来の条件 [DC] よりも厳密に強い正確なSDP緩和の十分条件である。
• 例1では、[DC] が失敗する状況でも [NewDC] が満たされる例を示しており、これが [NewDC] の厳密な改善を証明している。
• 例2では、[NewDC] が失敗する場合、SDP緩和に正のギャップが生じる可能性があることを示しており、この条件が十分であるだけでなく、実用的にも意味を持つことが確認された。