[論文レビュー] tt* geometry, Frobenius manifolds, their connections, and the construction for singularities

Claus Hertling|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、準同次的でない場合を含め、すべての超曲面特異点に対して、振動積分と$(TERP)$-構造を用いて$tt^*$幾何とフォロビウス多様体を構成する。極性付けられた混合Hodge構造と$tt^*$幾何の深い関係を確立し、後者がある種の周期の解析接続と、極を持つ平坦接続から自然に生じることを示す。

ABSTRACT

The base space of a semiuniversal unfolding of a hypersurface singularity carries a rich geometry. By work of K. Saito and M. Saito is can be equipped with the structure of a Frobenius manifold. By work of Cecotti and Vafa it can be equipped with tt* geometry if the singularity is quasihomogeneous. tt* geometry generalizes the notion of variation of Hodge structures. In the second part of this paper (chapters 6-8) Frobenius manifolds and tt* geometry are constructed for any hypersurface singularity, using essentially oscillating integrals; and the intimate relationship between polarized mixed Hodge structures and this tt* geometry is worked out. In the first part (chapters 2-5) tt* geometry and Frobenius manifolds and their relations are studied in general. To both of them flat connections with poles are associated, with distinctive common and different properties. A frame for a simultaneous construction is given.

研究の動機と目的

• 準同次的でない特異点にまで$tt^*$幾何とフォロビウス多様体構造を拡張すること。
• $(TERP)$-構造を共通の中間的役割として用いて、$tt^*$幾何とフォロビウス型構造を統一的な枠組みで記述すること。
• 特異点の文脈における極性付けられた混合Hodge構造と$tt^*$幾何の関係を明確化すること。
• 半普遍的展開の基底空間上で、物理的でない方法によるCDV構造（$tt^*$幾何とフォロビウス幾何の統合）の構成を提供すること。
• 極を持つ平坦接続の性質と、無限遠点におけるその拡張を、対数的特異点とPoincaré階数1特異点の区別を含めて分析すること。

提案手法

• 任意の超曲面特異点に対して、Saitoの構成を準同次的でない場合にまで一般化するため、振動積分を用いてフォロビウス多様体を構成する。
• $(TERP)$-構造（実構造とペアリングデータを備えた-twistor構造）を用い、$\mathbb{P}^1 \times M$ 上の平坦接続を通じて、$tt^*$幾何とフォロビウス多様体の記述を統一する。
• $\mathbb{C} \times M$ への接続の制限を分析し、両方の構造が$z=0$でPoincaré階数1の極を持つこと、$\mathbb{C}^* \times M$ 上で平坦なペアリングを持つことを見出す。
• $z=\infty$ における挙動を区別する：フォロビウス型構造は対数的極を持つが、$tt^*$幾何は実構造によって一意に定まるPoincaré階数1の極の反正則的双子を持つ。
• 基本的セクションを用いて、特に単模および二模特異点に対して、$H^\infty_\lambda$ のコホロジー分解に対する$(TERP)$-構造を生成する。
• $N$（ノルム作用素）とモノドロミーを用いてコホロジーを固有空間$H^\infty_\lambda$ に分解し、$\mathcal{Q}$ の定符号性と固有値の挙動を、個別ケースごとの分析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての超曲面特異点（特に準同次的でない場合を含む）に対して、$tt^*$幾何とフォロビウス多様体構造を一貫して構成する方法は何か？
• RQ2 特異点論の文脈において、極性付けられた混合Hodge構造と$tt^*$幾何の正確な関係は何か？
• RQ3 極を持つ平坦接続が$tt^*$幾何とフォロビウス多様体の間でどのように異なっているか、特に$z=\infty$ においては？
• RQ4 $(TERP)$-構造が、$tt^*$幾何とフォロビウス型構造の記述を統一する役割を果たす役割は何か？
• RQ5 単模および二模特異点の基底空間の異なる領域における、計量と自己準同型$\mathcal{Q}$ の固有値の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 14個の例外的単模特異点に対して、$(TERP(n+1))$-構造は$H^\infty_{\neq 1}$ で定数部分と$H^\infty_1$ で非自明な部分に分解され、$|t|=r_1$ の円上では$(trTERP(n+1))$-構造ではない。
• $S_\mu - R$ 上の$tt^*$幾何の計量$h$ は$|t| > r_1$ で正定値、$|t| < r_1$ で負定値であり、$\mathcal{Q}$ の固有値は$\log|t| - \log r_1$ に依存して$\pm\left(\frac{1}{2} + \cdots \right)$ の形を取る。
• 14個の例外的二模特異点に対して、$(TERP(n+1))$-構造は定数部分と4次元部分に分解され、後者は$ r_3|t_1 + r_5 t_2^{r_6}|^2 - (1 - r_4|t_2|^2)^2 = 0 $ で定義される特異的実超曲面上では$(trTERP(n+1))$-構造ではない。
• 二模特異点の場合は$t=0$に近い領域で計量$h$ は正定値であり、$t \to 0$ のとき$\mathcal{Q}$ の固有値は$j \in \{1,2,\mu-1,\mu\}$ に対して$\alpha_j - \frac{3}{2}$ に近づく。
• 任意の超曲面特異点の半普遍的展開の基底空間上での$tt^*$幾何は、振動積分と$(TERP)$-構造を用いて構成され、準同次的特異点に対する以前の結果を一般化する。
• 各特異点タイプに対してEuler場$E$ を明示的に計算した：単模特異点では$E = (1 - \frac{1}{p} - \frac{1}{q} - \frac{1}{r})t\partial_t$、二模特異点では$t_1$ と$t_2$ を含むより複雑な式である。