[論文レビュー] Tubular free by cyclic groups and the strongest Tits alternative

J. O. Button|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Wiseの等価集合基準を用いて、チューブラー自由-自己同型群がCAT(0)立方複体に自由に作用することを確立し、さらに強く、すべての部分群が非アーベル自由群に上への準同型をもつ、もしくは torsion-free アーベル群であるという、最も強いティーツの代替性を、ほぼすべての部分群に対して満たすことを示している。ゲルステン群は、それ以上に、ほとんど特別でないし、ほとんど残余自由でもないが、依然として最も強いティーツの代替性をほぼ満たす最初の既知の例である。

ABSTRACT

We show, using Wise's equitable sets criterion, that every tubular free by cyclic group acts freely on a CAT(0) cube complex. We also show that these groups have a finite index subgroup satisfying the strongest Tits alternative, which means that every subgroup either surjects a non abelian free group or is torsion free abelian. In particular the Gersten group is the first known group virtually having this property but which is not virtually special nor virtually residually free.

研究の動機と目的

• チューブラー自由-自己同型群がCAT(0)立方複体に自由に作用するかどうかを特定すること。
• これらの群が、仮想的特別でないし、仮想的残余自由でもない場合でも、最も強いティーツの代替性を満たすかどうかを調査すること。
• 仮想的特別でないが、依然として最も強いティーツの代替性を仮想的に満たす最初の例を特定すること。
• すべての辺群で非ゼロとなるℤへの準同型を用いて、自由-自己同型であるチューブラー群を分類すること。
• CAT(0)立方複体への幾何的作用と、最も強いティーツの代替性のような強い群論的性質との関係を探索すること。

提案手法

• Wiseの等価集合基準を用いて、チューブラー自由-自己同型群がCAT(0)立方複体に自由に作用することを証明する。
• すべての辺群で非ゼロとなるℤへの準同型を構成し、自由-自己同型であるチューブラー群を特徴付ける。
• 等価集合条件を適用して、このような群がCAT(0)立方複体への自由作用の基準を満たすことを示す。
• 構造的群論的解析を用いて、最大辺包含をもつチューブラー群が、ほぼすべての部分群で最も強いティーツの代替性を満たすことを証明する。
• 有限被覆を用いて、最大辺包含の状況に還元し、これにより定理3.7の適用が可能になる。
• すべての自由-自己同型チューブラー群が、最大辺包含をもつ有限被覆をもつことを利用し、一般の場合への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのチューブラー自由-自己同型群は、CAT(0)立方複体に自由に作用するか？
• RQ2 仮想的特別でないし、仮想的残余自由でもない群が、最も強いティーツの代替性を仮想的に満たすことは可能か？
• RQ3 仮想的特別でないが、依然として最も強いティーツの代替性を仮想的に満たす群は存在するか？
• RQ4 最大辺包含が、最も強いティーツの代替性が仮想的に成り立つために果たす役割は何か？
• RQ5 CAT(0)立方複体への幾何的作用と、最も強いティーツの代替性のような強い群論的性質との関係は何か？

主な発見

• Wiseの等価集合基準を用いて、すべてのチューブラー自由-自己同型群がCAT(0)立方複体に自由に作用することが示された。
• ゲルステン群は、仮想的特別でなく、仮想的残余自由でもないが、依然として最も強いティーツの代替性を仮想的に満たす最初の既知の例である。
• 最大辺包含をもつすべてのチューブラー群は、ある有限指数部分群において最も強いティーツの代替性を満たす。
• 最も強いティーツの代替性を満たす有限指数部分群は明示的に構成されており、ゲルステン群の場合は指数4である。
• ウッドハウス群やその他の例についても、有限指数部分群が最も強いティーツの代替性を満たすことが示されたが、それらは有限次元のCAT(0)立方複体に自由に作用しない。
• 論文は、幾何的立方化なしに最も強いティーツの代替性を確立できることを特定し、群論的性質が幾何的作用とは独立して導かれる可能性を示した。