[論文レビュー] Tucker tensor method for fast grid-based summation of long-range potentials on 3D lattices with defects

Venera Khoromskaia, Boris N. Khoromskij|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、欠陥を有する3次元格子上の長距離ポテンシャルの高速なグリッドベースの和算を実現するTuckerテンソル法を提案する。低ランクのカノニカルおよびTuckerテンソル形式を用いることで、従来のO(L³)からO(L)の複雑性に低減する。この手法により、ランク低減テンソル演算を用いて数百万の相互作用を数秒で効率的に計算可能であり、安定した誤差境界とグリッドサイズNに比例する線形スケーリングを達成する。

ABSTRACT

In this paper, we present a method for fast summation of long-range potentials on 3D lattices with multiple defects and having non-rectangular geometries, based on rank-structured tensor representations. This is a significant generalization of our recent technique for the grid-based summation of electrostatic potentials on the rectangular $L imes L imes L$ lattices by using the canonical tensor decompositions and yielding the $O(L)$ computational complexity instead of $O(L^3)$ by traditional approaches. The resulting lattice sum is calculated as a Tucker or canonical representation whose directional vectors are assembled by the 1D summation of the generating vectors for the shifted reference tensor, once precomputed on large $N imes N imes N$ representation grid in a 3D bounding box. The tensor numerical treatment of defects is performed in an algebraic way by simple summation of tensors in the canonical or Tucker formats. To diminish the considerable increase in the tensor rank of the resulting potential sum the $\varepsilon$-rank reduction procedure is applied based on the generalized reduced higher-order SVD scheme. For the reduced higher-order SVD approximation to a sum of canonical/Tucker tensors, we prove the stable error bounds in the relative norm in terms of discarded singular values of the side matrices. The required storage scales linearly in the 1D grid-size, $O(N)$, while the numerical cost is estimated by $O(N L)$. Numerical tests confirm the efficiency of the presented tensor summation method: we demonstrate that a sum of millions of Newton kernels on a 3D lattice with defects/impurities can be computed in seconds in Matlab implementation.

研究の動機と目的

• 欠陥（バニシティや不純物を含む）を有する3次元格子上での長距離ポテンシャルを高速かつスケーラブルに計算する手法の開発。
• 従来のテンソルベースの格子和算技術を、非長方形格子および欠陥格子に拡張し、計算効率を維持すること。
• 個々のポテンシャルのテンソル表現を低ランク形式を用いて代数的和算し、ストレージおよび計算コストを最小限に抑えること。
• カノニカルおよびTuckerテンソルに対して、削減された高階SVD（RHOSVD）を用いて安定した誤差制御が可能なランク低減を提供すること。
• 得られたポテンシャル場に対して、テンソル演算を用いて後続の関数的計算（例えば、積分、微分）を効率的に行えるようにすること。

提案手法

• ラプラス変換およびsinc積分近似を用いて、大規模なN×N×Nグリッド上に基本ポテンシャルカーネル（例：ニュートン、ユカワ）を低ランクTuckerまたはカノニカルテンソル形式で表現する。
• 格子上の各サイトに対して、コアテンソルおよびスケルトンベクトルを格子ベクトルに沿って平行移動することで、基準ポテンシャルのシフトされたテンソルコピーを生成する。
• 方向ベクトル（スケルトン）の1次元和算により、シフトされたテンソルの低ランク分離を保ったまま、全格子和を構築する。
• 特に、欠陥サイト上の代数的和算後に、ε-ランク低減を削減された高階SVD（RHOSVD）を用いて、和のテンソルランクを制御する。
• 高ランクカノニカル和を低ランクTucker形式に変換するためのテンソル変換を用い、破棄された特異値に基づく安定した誤差境界を達成する。
• テンソル演算を活用して、1次元複雑性スケーリングを伴う、統合や微分などの効率的な後続演算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低ランクテンソル形式を用いて、欠陥を有する3次元格子上での長距離ポテンシャルの表現と和算が、線形複雑性を維持しながら可能か？
• RQ2 複数の欠陥格子寄与の代数的和算後に、テンソルランクをどのように制御できるか？
• RQ3 カノニカルまたはTuckerテンソルの和に対して、削減された高階SVD近似の安定性および誤差境界はいかほどか？
• RQ4 本手法は、非長方形または欠陥格子上での格子和に対して、従来のO(L³)と比較してO(L)の計算複雑性を達成できるか？
• RQ5 テンソル表現は、追加コストを最小限に抑えて、微分や積分などのさらなる数値的演算をどの程度可能にするか？

主な発見

• 本手法は、計算複雑性がO(NL)、ストレージがO(N)と、1次元グリッドサイズNに比例する線形スケーリングを達成し、古典的手法のO(L³)と比較して優位である。
• 数百万の格子サイトにわたる欠陥を含む和算後でも、得られる和のテンソルランクが、基準ポテンシャルのランクによって上限に制限される。
• 数値実験により、Matlab実装を用いて、欠陥を有する3次元格子上に数百万のニュートンカーネルを数秒で和算可能であることが確認された。
• 削減されたHOSVD近似は、相対ノルムにおいて安定した誤差境界を提供し、側面行列からの破棄された特異値の和に比例する。
• 本手法は、ニュートン、ユカワ、レナードジョーンズ、双極子-双極子ポテンシャルなど、広範な種類の相互作用カーネルに適用可能である。
• Tuckerおよびカノニカルテンソル形式により、1次元複雑性スケーリングを伴うテンソル演算を用いて、ポテンシャル場における効率的な関数的計算（例：積分、微分）が可能である。