[論文レビュー] Tug-of-War games and parabolic problems with spatial and time dependence

Leandro M. Del Pezzo, Julio D. Rossi|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Guidance and Control Systems参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、空間的・時間的依存性を持つ移動集合を伴うテューグ・オブ・ウォー（Tug-of-War）ゲームと、係数が変化する無限大ラプラシアンを含むクラスの放物型偏微分方程式（PDE）の粘性解との間で、確率的関係を確立する。標準的なテューグ・オブ・ウォー・ゲームを、$\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$ に依存する移動集合によって一般化することで、ハミルトニアン＝ジャコビ＝ベルマン型方程式を導出し、ゲーム価値の連続的極限が、ディリクレ境界条件を満たす結果のPDEの粘性解に一様収束することを証明する。

ABSTRACT

In this paper we use probabilistic arguments (Tug-of-War games) to obtain existence of viscosity solutions to a parabolic problem of the form $$ {cases} K_{(x,t)}(D u)u_t (x,t)= \frac12 $.

研究の動機と目的

• 空間的・時間的依存性を持つ移動集合を含む形で、テューグ・オブ・ウォー・ゲームによる無限大ラプラシアンの確率的解釈を拡張すること。
• ゲームの移動集合が空間と時間に依存する場合に、その連続的極限として生じるPDEを同定すること。
• ゲーム理論的議論を用いて、係数が変化する放物型問題の粘性解の存在を確立すること。
• 古典的なテューグ・オブ・ウォー・ゲームの枠組みを、球形でない、異方的で、時間に依存する許容可能な移動を許容する形に一般化すること。

提案手法

• 空間と時間に依存する移動集合 $\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$ を用いるテューグ・オブ・ウォー・ゲームを導入し、標準的な閉球 $\overline{B_\varepsilon(x)}$ を置き換える。
• 動的計画法原理（DPP）を満たすゲーム価値関数 $u_\varepsilon(x,t)$ を定義し、$\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$ 上での上界と下界の平均を含む。
• 粘性解の技法とコンパクトネスの議論を用いて、$\varepsilon \to 0$ のときの $u_\varepsilon$ の一様収束を証明する。
• DPPの漸近的解析を通じて、極限PDEを $K_{(x,t)}(Du)u_t = \frac{1}{2}\langle D^2u J_{(x,t)}(Du), J_{(x,t)}(Du) \rangle$ として同定する。
• 粘性解の枠組みを用いて、移動集合に関する仮定A1–A4の下で、極限関数が粘性解としてPDEを満たすことを検証する。
• 移動集合の極値方向を定義する写像 $J_{(x,t)}$ と $I_{(x,t)}$ を用いて、ゲームの最適戦略と勾配の方向との関係を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的・時間的依存性を持つ移動集合を伴うテューグ・オブ・ウォー・ゲームの連続的極限として、どのような放物型PDEが得られるか？
• RQ2 移動集合 $\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$ の選択が、$\varepsilon \to 0$ の極限における結果のPDEにどのように影響を与えるか？
• RQ3 ゲーム理論的手法を用いて、係数が変化する放物型問題の粘性解を構成できるか？
• RQ4 移動集合にどのような条件を課すと、ゲーム価値が定義されたPDEの解に収束するか？
• RQ5 写像 $J_{(x,t)}$ と $I_{(x,t)}$ は、ゲームダイナミクスの異方的および時間的依存性をどのように表現しているか？

主な発見

• ゲーム価値 $u_\varepsilon$ の連続的極限 $v$ は、領域 $\Omega_T$ において放物型PDE $K_{(x,t)}(Du)u_t = \frac{1}{2}\langle D^2u J_{(x,t)}(Du), J_{(x,t)}(Du) \rangle$ の粘性解である。
• 極限PDEは、写像 $J_{(x,t)}$ と $I_{(x,t)}$ を通じて空間的・時間的依存性を組み込むことで、無限大ラプラシアンの時間発展方程式を一般化している。
• 移動集合に関する仮定A1–A4の下で、$u_\varepsilon \rightrightarrows v$ として $\varepsilon \to 0$ のとき一様収束が成立する。
• 粘性解は、放物的境界 $\Gamma = \partial\Omega \times [0,T] \cup \Omega \times \{0\}$ で境界条件 $v = F$ を満たす。
• PDEの構造は、動的計画法原理の漸近展開から自然に生じ、2次項が $J_{(x,t)}(Du)$ 方向の曲率を捉えている。
• 具体的な例では、異なる移動集合が異なるPDEをもたらすことが示されている。例えば、$\mathcal{A}_1$ を用いる場合、PDEは $v \neq 0$ に対して $G(M,v,s,x,t) = \frac{c+1}{2}s - \frac{\rho^2}{2|v|^2}\langle Mv,v \rangle$ に簡略化される。