[論文レビュー] Tukey classes of ultrafilters on omega

David Milovich|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ω 上の超フィルターのTukeyクラスを調査し、ダイアモンド原理（♦）のもとで、非P-点超フィルターが存在し、その逆包含順序が [𝔠]^{<ω} とTukey同値でないことを示している。また、cf(κ) = κ ≤ p = 𝔠 と仮定すると、ある超フィルターが [𝔠]^{<κ} とTukey同値であることが示され、ω 上の超フィルターに対して特定のTukeyクラスが排除される2つのZFC結果も得られている。

ABSTRACT

Motivated by a question of Isbell, we show that Jensen's Diamond Principle implies there is a non-P-point ultrafilter U on omega such that U, whether ordered by reverse inclusion or reverse inclusion mod finite, is not Tukey equivalent to the finite sets of reals ordered by inclusion. We also show that, for every regular infinite kappa not greater than 2^{aleph_0}, if MA_{sigma-centered} holds, then some ultrafilter U on omega, ordered by reverse inclusion mod finite, is Tukey equivalent to the sets of reals of size less than kappa, ordered by inclusion. We also prove two negative ZFC results about the possible Tukey classes of ultrafilters on omega.

研究の動機と目的

• さまざまな集合論的仮定の下で、ω 上の超フィルターの可能なTukey型を分類すること。
• すべてのサイズ ω₁ の有向集合が、5つの既知のタイプのいずれかとTukey同値であるかどうかというIsbellの問いに応えること。
• 超フィルター上の逆包含またはほとんど至る所包含順序によって生じるTukeyクラスを特定すること。
• 特定の共終性とTukey構造を持つ超フィルターの存在に関して、一貫性とZFCの結果を確立すること。

提案手法

• ダイアモンド原理（♦）を用いて、⟨𝒰, ⊇⟩ および ⟨𝒰, ⊇*⟩ が ⟨[𝔠]^{<ω}, ⊆⟩ とTukey同値でない非P-点超フィルター 𝒰 を構成する。
• コーエンの一般化と擬似交叉を用いた再帰的構成により、強有限交叉性質（SFIP）と 𝝸-に類似した構造を持つ半フィルターを構築する。
• ソロヴェイの補題を用いて、無限集合の族から擬似交叉を抽出し、構成における一般性と共終的制御を保証する。
• Tukey減少性の基準を用いる：写像 f がTukeyであるとは、有界集合の逆像が有界であること。また、P ≤_T Q であるとは、写像 g: Q → P が存在し、cofinal集合の像がcofinalであること。
• cf(κ) = κ ≤ p = 𝔠 の仮定の下で、単射と擬似交叉の選択を用いて、⟨𝒰, ⊇*⟩ と ⟨[𝔠]^{<κ}, ⊆⟩ の間のTukey同値性を構成する。
• 位相的不変性を応用する：点における局所基のTukeyクラスは、開連続写像の下で保存され、位相とTukey理論を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ♦ は、⟨𝒰, ⊇⟩ および ⟨𝒰, ⊇*⟩ が ⟨[𝔠]^{<ω}, ⊆⟩ とTukey同値でない非P-点超フィルター 𝒰 の存在を示すか？
• RQ2 ZFCのみで、⟨𝒰, ⊇*⟩ が ⟨[𝔠]^{<κ}, ⊆⟩ とTukey同値であるような超フィルター 𝒰 が存在するか？（cf(κ) = κ ≤ p = 𝔠 を満たす κ に対して）
• RQ3 ZFCは、ω 上の超フィルターが ⟨[𝔠]^{<ω}, ⊆⟩ よりも厳密に小さいTukey型をとることを排除するか？
• RQ4 ♦ は、⊆* の下でuncountably many 互いにTukey非同値な超フィルターの存在を示すか？
• RQ5 ω₁ < 𝔪 を仮定すると、ある超フィルター 𝒰 が ⟨𝒰, ⊇*⟩ ≡_T ω₁ × 𝔠 を満たすことが一貫するか？

主な発見

• ♦ のもとで、非P-点超フィルター 𝒰 が存在し、⟨𝒰, ⊇⟩ および ⟨𝒰, ⊇*⟩ がどちらも ⟨[𝔠]^{<ω}, ⊆⟩ とTukey同値でない。
• cf(κ) = κ ≤ p = 𝔠 を仮定すると、⟨𝒰, ⊇*⟩ ≡_T ⟨[𝔠]^{<κ}, ⊆⟩ となる超フィルター 𝒰 が存在する。
• 2つのZFC結果が証明された：超フィルターが共終性条件を破る形で ⟨[𝔠]^{<ω}, ⊆⟩ よりも厳密に小さいTukey型をとることはできず、特定のTukey型はω 上の超フィルターに対して排除される。
• 構成により、擬似交叉の選択によって ⟨[𝔠]^{<κ}, ⊆⟩ とTukey同値であるP_κ-点超フィルターが得られる。
• 論文は、点における局所基のTukeyクラスが開連続写像の下で不変であることを示し、位相とTukey減少性を結びつける。
• サイズ <𝔠 で、特定の交差条件を満たす無限集合の族に対して、ソロヴェイの補題により擬似交叉の存在が保証される。