[論文レビュー] Tukey classification of some ideals in $\omega$ and the lattices of weakly compact sets in Banach spaces

Antonio Avilés, Grzegorz Plebanek+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、解析的決定性の公理の下で、可分バナッハ空間における弱コンパクト集合の格子構造をツェキー還元を用いて分類する。その結果、このような空間に対しては、K(BX) が4つの標準的posetのいずれかとツェキー同値であることが示され、すなわち、{0}、ωω、K(Q)、[c]<ω である。さらに、ε-近傍を含むmetricに基づく近似関係を組み込んだAK(BX)フレームワークを用いて、より洗練された分類が得られる。主な貢献は、解析的決定性の下での完全なツェキー分類であり、ℓ₁を含まない空間に対してはZFCで成立する結果も得られている。

ABSTRACT

We study the lattice structure of the family of weakly compact subsets of the unit ball $B_X$ of a separable Banach space $X$, equipped with the inclusion relation (this structure is denoted by $\mathcal{K}(B_X)$) and also with the parametrized family of almost inclusion relations $K \subseteq L+\epsilon B_X$, where $\epsilon>0$ (this structure is denoted by $\mathcal{AK}(B_X)$). Tukey equivalence between partially ordered sets and a suitable extension to deal with $\mathcal{AK}(B_X)$ are used. Assuming the axiom of analytic determinacy, we prove that separable Banach spaces fall into four categories, namely: $\mathcal{K}(B_X)$ is equivalent either to a singleton, or to $\omega^\omega$, or to the family $\mathcal{K}(\mathbb{Q})$ of compact subsets of the rational numbers, or to the family $[\mathfrak{c}]^{<\omega}$ of all finite subsets of the continuum. Also under the axiom of analytic determinacy, a similar classification of $\mathcal{AK}(B_X)$ is obtained. For separable Banach spaces not containing $\ell^1$, we prove in ZFC that $\mathcal{K}(B_X) \sim \mathcal{AK}(B_X)$ are equivalent to either $\{0\}$, $\omega^\omega$, $\mathcal{K}(\mathbb{Q})$ or $[\mathfrak{c}]^{<\omega}$. The lattice structure of the family of all weakly null subsequences of an unconditional basis is also studied.

研究の動機と目的

• 可分バナッハ空間における弱コンパクト部分集合の格子構造を、ツェキー還元を用いて分類すること。
• AK(BX)フレームワークを用いて、集合のε-近傍を組み込んだmetric構造を含めた分類を拡張すること。
• 解析的決定性の公理の下で、K(BX) が4つの標準的posetのいずれかとツェキー同値であることを確立すること：{0}、ωω、K(Q)、[c]&lt;ω。
• AK(BX)に対してより細かい分類を行い、幾何的・位相的性質が強く反映される場合を区別すること。
• K(BX)とAK(BX)がツェキー同値となる条件を特定すること、特にℓ₁を含まない空間において。
• 解析的決定性が成立しない状況における分類の整合性を検討し、その文脈での未解決問題を探索すること。

提案手法

• ツェキー還元を用いて、バナッハ空間における弱コンパクト族を表す部分順序集合を比較する。
• ε > 0 に対して K ⊆ L + εBX をパラメータ化した関係を備えた構造AK(BX)を導入し、metric的情報を統合する。
• coanalytic集合に対するLusinギャップ二分法を適用し、ω上の複雑なイデアルを分析することで、解析的族Iに対するI⊥の分類を達成する。
• 解析的決定性の公理を用いて、特定の均一な部分構造の存在を保証し、標準的タイプへの分類を可能にする。
• Ramsey理論的議論および木構造解析（例：2&lt;ωにおける反鎖および鎖分解）を用いて、集合族の構造を制御する。
• MAℵ₁およびLusinの仮説を満たすモデルにおいて、[ω₁]&lt;ω が、{0}、ω、ωω、K(Q)、[c]&lt;ω いずれの標準的posetともツェキー同値でない反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的決定性の公理の下で、可分バナッハ空間に対してK(BX)の可能なツェキー型は何か？
• RQ2 AK(BX)におけるmetricに基づく関係の導入は、K(BX)と比較して弱コンパクト集合の分類をどのように洗練させるか？
• RQ3 非反射的可分バナッハ空間が存在し、K(BX) が {0}、ωω、K(Q)、[c]&lt;ω いずれともツェキー同値でないことが、一貫しているとは言えるか？
• RQ4 ℓ₁を含まないバナッハ空間に対して、ZFCでK(BX)とAK(BX)が同値であることを確立できるか？
• RQ5 非-SWCG空間において、AK(BX) が常に ωω ⪯ AK(BX) または AK(BX) ⪯ ω を満たすか、それとも中間の型が存在するか？

主な発見

• 解析的決定性の公理の下で、単位球BXの弱コンパクト部分集合の格子K(BX) は、4つの標準的posetのいずれかとツェキー同値である：単一集合（反射的空間に対応）、ωω、K(Q)、[c]&lt;ω。
• metricに基づく近似関係を組み込んだAK(BX)は、5つのタイプへの洗練された分類を許容する：{0}、ω、ωω、K(Q)、[c]&lt;ω。ここでωのケースは強いつよコンパクト生成空間に対応する。
• ℓ₁を含まない可分バナッハ空間に対しては、ZFCでK(BX)とAK(BX)がツェキー同値であり、それぞれが{0}、ωω、K(Q)、[c]&lt;ω のいずれかと同値である。
• MAℵ₁およびLusinの仮説を満たすモデルにおいて、poset [ω₁]&lt;ω は、{0}、ω、ωω、K(Q)、[c]&lt;ω いずれともツェキー同値ではなくなる。これは、連続的上限の性質（ℵ₁ 対 ℵ₀、d、または c）の違いによる。
• 定理7.12の構成により、非反射的で可分なバナッハ空間（無条件基底を有する）が得られ、その弱コンパクト集合が4つの標準的タイプと同値でない構造をもつ。これは、サイズℵ₁のcoanalytic集合の存在を仮定した場合に成立する。
• 同じモデルにおいて、X = ℓ₁(ω₁) のAK(BX) は連続的上限がℵ₁であり、cf(ωω) = d であるから、ω₁ < d ならば ωω ⪯ AK(BX) は成立しない。これにより、AK(BX) が標準的クラスを逸脱することが示された。