[論文レビュー] Tulczyjew's Triplet for Lie Groups III : Higher Order Dynamics and Reductions for Iterated Bundles

Oğul Esen, Hasan Gümral+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、リー群の反復バンドル上での高次力学に、Tulczyjewの三重形式を拡張し、群構造およびシンプレクティック構造を保つ標準的 trivialization を用いる。$T^*TG$、$T^*T^*G$、およびTulczyjew空間 $TT^*G$ 上でのハミルトニアンおよびラグランジュ形式による、高次エイラー＝ポワンカレおよびリー＝ポワンサ方程式を導出する。部分群 $G$、$χ$、$χ^*$ およびそれらの半直積による系の体系的還元を通じて、幾何的整合性と保存則を持つ一般化された力学系が得られる。

ABSTRACT

Given a Lie group $G$, we elaborate the dynamics on $T^*T^*G$ and $T^*TG$, which is given by a Hamiltonian, as well as the dynamics on the Tulczyjew symplectic space $TT^*G$, which may be defined by a Lagrangian or a Hamiltonian function. As the trivializations we adapted respect the group structures of the iterated bundles, we exploit all possible subgroup reductions (Poisson, symplectic or both) of higher order dynamics.

研究の動機と目的

• リー群の反復接空間および余接空間バンドル上での高次力学の幾何的枠組みを構築し、Tulczyjewの三重形式を一次系にとどまらず拡張すること。
• 群構造およびシンプレクティック構造を保つ $T^*TG$、$T^*T^*G$、$TT^*G$ の標準的 trivialization を活用し、整合的な力学的定式化を実現すること。
• 部分群 $G$、$χ$、$χ^*$ およびそれらの半直積による、ハミルトニアンおよびラグランジュ力学の体系的還元を通じて、高次動的系を導出すること。
• シンプレクティック微分同相写像およびポワンサ写像を用いて、$TT^*G$、$T^*TG$、$T^*T^*G$ 上の力学の間の対応関係を確立すること。
• 高次反復バンドル上での変分原理を通じて、一次系のエイラー＝ポワンカレおよびリー＝ポワンサ方程式を高次形式に一般化すること。

提案手法

• 群構造およびシンプレクティック構造を尊重する、反復バンドル $T^*TG \simeq (G \ltimes \mathfrak{g}) \ltimes (\mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{g}^*)$、$T^*T^*G \simeq (G \ltimes \mathfrak{g}^*) \ltimes (\mathfrak{g}^* \ltimes \mathfrak{g})$、$TT^*G \simeq (G \ltimes \mathfrak{g}^*) \ltimes (\mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{g}^*)$ の trivialization を用いる。
• 右不変ベクトル場、共役作用および共役作用の双対作用、および共変微分を含む成分ごとのハミルトンの運動方程式を用いて、$T^*TG$ および $T^*T^*G$ 上でのハミルトニアン力学を導出する。
• 右不変ベクトル場を用いて定義される変分原理を $TT^*G$ 上のラグランジュ力学に適用し、非自明な構造定数を有するEuler-Lagrange方程式を導出する。
• Marsden-Weinsteinおよびポワンサ還元技術を用いて、部分群 $G$、$χ$、$χ^*$、$G \ltimes \mathfrak{g}$、$G \ltimes \mathfrak{g}^*$ による還元を実施し、還元された力学系を得る。
• シンプレクティック微分同相写像およびポワンサ写像を用いて、$TT^*G$、$T^*TG$、$T^*T^*G$ 間の力学の関係を確立し、幾何的整合性を保証する。
• ネーターの定理を用いて保存量を同定し、$TT^*G$ 上のEuler-Lagrange方程式の解に沿って $< \frac{\delta E}{\delta \xi}, \xi \u003e + < \frac{\delta E}{\delta \nu}, \nu \u003e - E$ が一定であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群 $G$ の反復バンドル $T^*TG$、$T^*T^*G$、$TT^*G$ 上での高次力学を、標準的 trivialization を用いて一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 これらの高次バンドル上でのラグランジュ的およびハミルトニアン的力学から生じる一般化されたエイラー＝ポワンカレおよびリー＝ポワンサ方程式は何か？
• RQ3 部分群 $G$、$χ$、$χ^*$ およびそれらの半直積によるシンプレクティックおよびポワンサ還元は、力学系の構造と解にどのように影響を与えるか？
• RQ4 $TT^*G$、$T^*TG$、$T^*T^*G$ 上の力学の幾何的対応関係は何か？ そして、それらはどのようにシンプレクティック微分同相写像およびポワンサ写像で結びつけられるか？
• RQ5 $TT^*G$ 上のラグランジアンの変分構造から生じる保存量は何か？ そして、それらは系の対称性とどのように関係しているか？

主な発見

• 論文は、$TT^*G$ 上での trivialized Euler-Lagrange 方程式を $\frac{d}{dt} \left\langle \frac{\delta E}{\delta \xi}, \eta \right\rangle = \left\langle T^*_e R_g \frac{\delta E}{\delta g}, \eta \right\rangle - \left\langle \text{ad}^*_{\delta E/\delta \mu} \mu, \eta \right\rangle + \left\langle \text{ad}^*_\xi \frac{\delta E}{\delta \xi}, \eta \right\rangle - \left\langle \text{ad}^*_{\delta E/\delta \nu} \nu, \eta \right\rangle$ および $\frac{d}{dt} \left\langle \frac{\delta E}{\delta \nu}, \lambda \right\rangle = \left\langle \frac{\delta E}{\delta \mu}, \lambda \right\rangle + \left\langle \text{ad}_\xi \frac{\delta E}{\delta \nu}, \lambda \right\rangle$ として導出する。ここで $\eta, \lambda \in \mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{g}^*$ は任意である。
• Euler-Lagrange方程式の解に沿って $\left\langle \frac{\delta E}{\delta \xi}, \xi \right\rangle + \left\langle \frac{\delta E}{\delta \nu}, \nu \right\rangle - E$ が一定であることが確立され、一次系におけるエネルギー保存則を一般化する。
• $\mathfrak{g}_2 \ltimes \mathfrak{g}_3^*$ 上での還元されたエイラー＝ポワンカレ方程式は、ラグランジアン $E$ が基本群変数 $g$ に依存しないとき、$\frac{d}{dt} \left\langle \frac{\delta E}{\delta \xi}, \eta \right\rangle = \left\langle \text{ad}^*_\xi \frac{\delta E}{\delta \xi}, \eta \right\rangle - \left\langl \text{ad}^*_{\delta E/\delta \nu} \nu, \eta \right\rangle$ および $\frac{d}{dt} \left\langle \frac{\delta E}{\delta \nu}, \lambda \right\rangle = - \left\langle \text{ad}_\xi \frac{\delta E}{\delta \nu}, \lambda \right\rangle$ として導出される。
• $G \ltimes \mathfrak{g}^*$ による還元により、$\mathfrak{g}_2 \ltimes \mathfrak{g}_3^*$ 上でのエイラー＝ポワンカレ方程式が得られ、Lie代数上での力学は一次理論と同一の構造を持つが、高次項を含む。
• $T^*TG$ および $T^*T^*G$ 上でのハミルトニアン力学が、右不変ベクトル場および共役作用を含む四成分ハミルトン方程式として等価であることが示され、標準座標におけるシンプレクティック構造の明示的表現が得られる。
• 論文は、Tulczyjewのシンプレクティック空間 $TT^*G$ がラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化を両方支持することを示し、$G$-作用による還元が、[16]で以前に研究された還元されたTulczyjew三重形式を回復することを示している。