[論文レビュー] Tunnel Splitting in Asymmetric Double Well Potentials: An Improved WKB Calculation

Seyyed M. H. Halataei, Anthony J. Leggett|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、1次元非対称二重井戸ポテンシャルにおけるトンネル分裂を計算するための改良されたWentzel-Kramers-Brillouin (WKB)近似を提示している。この近似により、分裂が従来の$\tilde{\epsilon}/V_0$スケーリングとは対照的に、バイアスエネルギー$\tilde{\epsilon}$に線形依存性を示すことが示された。主な貢献は、$\tilde{\epsilon}/\bar{\epsilon}\omega$の1次補正を含む修正されたトンネル幅の式であり、これらの効果は従来よりも大きく、特に実際の準位分裂から分離された仮想的エネルギー$\bar{E}$を介してガンマ因子が分離されることにより、より顕著であることが明らかになった。

ABSTRACT

We present an improved Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) calculation of tunnel splitting in one dimensional asymmetric double well potentials. We show that the tunnel splitting in general can have linear dependence on the bias energy, beside the well-known quadratic dependence. We demonstrate that the linear correction is greater than previously thought.

研究の動機と目的

• ポテンシャルの極小点付近での非一様性を考慮した、非対称二重井戸ポテンシャルにおけるトンネル分裂の再表現を、改良されたWKB法を用いて行う。
• トンネル分裂の補正が$\tilde{\epsilon}/V_0$に比例するとされてきた長年の仮定に反し、実際には$\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$が支配的スケーリングであることを示す。
• トンネル幅$\Delta$の自己無撞着な表現を導出し、$\Delta$そのものの値に依存しないようにすることで、従来の手法における循環的依存性を回避する。
• $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$の1次補正の大きさを定量的に評価し、SQUID や分子磁化体などの実際の物理系においてその重要性を示す。

提案手法

• 左・右の振動数$\omega_L, \omega_R$とバイアスエネルギー$\tilde{\epsilon}$を用いて、仮想的エネルギー$\bar{E} = \frac{\hbar(\omega_L + \omega_R)}{4} + \frac{\tilde{\epsilon}}{2}$を定義し、これにより転送点$\bar{a}, \bar{b}$と作用積分$\bar{I}(\bar{E})$を計算する。
• WKB接続公式を用いて、左井戸領域、障壁領域、右井戸領域における波動関数を連続に接続し、古典的禁制領域を越えての整合性を保証する。
• ガンマ因子$e^{-2\bar{I}}$を介してトンネル幅$\Delta$を導出し、$\hbar\sqrt{\omega_R\omega_L}/\sqrt{e\pi}$を含む係数項と、$k \epsilon / (4\hbar\omega_L) \cdot (\omega_R - \omega_L)/\omega_R$に比例する補正項（$k = \gamma - \ln 2 \approx -0.11$）を含む。
• 作用積分$I_L(\bar{E})$と$I_R(\bar{E})$を極小点のまわりで放物近似を用いて展開し、ポテンシャルの曲率に起因する対数項および定数項補正を含める。
• $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$の1次補正をガンマ因子の指数部および係数部の両方に組み込み、$\Delta(\tilde{\epsilon})$の完全な表現を得る。
• $\tilde{\epsilon}/V_0$が小さい場合には補正項が無視可能であることを示し、一方$\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$が関係する場合には非無視可能な大きさであることを確認することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称二重井戸ポテンシャルにおけるトンネル分裂は、標準的な2次依存性に加え、バイアスエネルギー$\tilde{\epsilon}$に対して線形依存性を示すか？
• RQ2 トンネル幅補正の正しいスケーリングは$\tilde{\epsilon}/V_0$か$\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$か？この違いは、非対称系におけるトンネルの物理的解釈にどのように影響するか？
• RQ3 トンネル幅$\Delta$の自己無撞着なWKB表現を、$\Delta$そのものの値に依存しない形で導出できるか？これにより、従来の手法における循環的依存性の問題が解決されるか？
• RQ4 $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$の1次補正は、SQUID や分子磁化体などの実際の物理系においてどれほど重要か？
• RQ5 $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$の1次補正はどのような条件下で相殺され、どのような条件下で非ゼロのまま残るか？

主な発見

• トンネル分裂$\Delta E = \sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2}$は、$\epsilon = \tilde{\epsilon} + \frac{\hbar(\omega_R - \omega_L)}{2}$により、バイアスエネルギー$\tilde{\epsilon}$に線形依存性を示しており、$\tilde{\epsilon}$に関して純粋な2次関数ではないことが示された。
• トンネル幅$\Delta$への主要な補正は、従来の$\tilde{\epsilon}/V_0$ではなく、$\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$のオーダーであり、より大きく、物理的にもより重要であることが判明した。
• 導出された$\Delta(\tilde{\epsilon})$の式は自己無撞着であり、$\Delta$そのものの値に依存しないため、従来のWKB手法における主要な制限が解消された。
• 係数部の補正項は、$k \epsilon / (4\hbar\omega_L) \cdot (\omega_R - \omega_L)/\omega_R$に比例し、$k \approx -0.11$であるため、わずかではあるが無視できない効果である。
• 作用積分$\bar{I}(\bar{E})$は、極小点付近のポテンシャル曲率に起因する対数項および定数項補正を含む展開が行われ、標準的WKBに比べて精度が向上した。
• $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$の1次補正が、$\hbar\omega \ll V_0$である系、特に$\omega_L \ne \omega_R$のとき顕著であり、無視できないことが示された。