[論文レビュー] Tur\'an numbers for Berge-hypergraphs and related extremal problems

Cory Palmer, Michael Tait+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 20被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、Berge-超グラフのツーラン数に対する新たな上界および下界を確立し、特に完全二部グラフ $K_{s,t}$ である $F$ に対する Berge-$F$ について考察する。また、Berge-$C_3$ や $C_4$ を含まない 3-一様超グラフの数に対する漸近公式を証明し、既知の $rac{1}{6}n^{3/2}+o(n^{3/2})$ の結果と一致する。本研究は、Berge-超グラフの極値関数、超グラフの拡張、およびグラフにおける部分グラフ数え上げの間の関係を結ぶ。

ABSTRACT

Let $F$ be a graph. We say that a hypergraph $H$ is a {\\it Berge}-$F$ if there is a bijection $f : E(F) \ ightarrow E(H )$ such that $e \\subseteq f(e)$ for every $e \\in E(F)$. Note that Berge-$F$ actually denotes a class of hypergraphs. The maximum number of edges in an $n$-vertex $r$-graph with no subhypergraph isomorphic to any Berge-$F$ is denoted $\\ex_r(n,\ extrm{Berge-}F)$. In this paper we establish new upper and lower bounds on $\\ex_r(n,\ extrm{Berge-}F)$ for general graphs $F$, and investigate connections between $\\ex_r(n,\ extrm{Berge-}F)$ and other recently studied extremal functions for graphs and hypergraphs. One case of specific interest will be when $F = K_{s,t}$. Additionally, we prove a counting result for $r$-graphs of girth five that complements the asymptotic formula $\ extup{ex}_3 (n , \ extrm{Berge-}\\{ C_2 , C_3 , C_4 \\} ) = \\frac{1}{6} n^{3/2} + o( n^{3/2} )$ of Lazebnik and Verstra\\"{e}te [{\\em Electron.\\ J. of Combin}. {\\bf 10}, (2003)].

研究の動機と目的

• 一般のグラフ $F$ および $r\geq 3$ の一様性について、ツーラン数 $\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$ のタイトな上界および下界を確立すること。
• $\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$、$\mathrm{ex}_r(n,F^+)$、$\mathrm{ex}(n,K_r,F)$ の関係を、$F$ の彩色数に基づく非退化および退化の場合に特に考察すること。
• Berge-$C_3$ や $C_4$ を含まない 5-サイクルの girth を持つ $r$-一様超グラフの数に対する漸近公式を証明し、Lazebnik と Verstra€«te の先行結果を補完すること。

提案手法

• 頂点順序と次数列に基づく数え上げの議論を用いて、Berge-$\mathcal{B}_4$-自由な超グラフの数を制限する。
• 補助グラフにおける独立集合に関する補題を経由して、Kleitman-Winston のコンテナ法を適用し、有効な頂点接続の数を制御する。
• 新しい頂点の近傍を制約するために、超グラフ内での長さ 2 のパスを表すエッジを持つ $i$ 頂点の補助グラフ $H_i$ を定義する。
• パラメータ $\beta = i^{-1/3}\log i$、$R = i/d_i$、$q = i^{1/3}$ を用いて、$H_i$ のサイズ $d_i$ の独立集合の数をコンテナ補題により上限付ける。
• 次数列の積による境界を用いて、girth が 5 で $m$ 条の辺を持つ $r$-グラフの数 $f_r(n,\mathcal{B}_4,m)$ の上界を導出する。
• 凸性および対数推定を用いて、$m$ と $n$ の関数としての最終的な指数的境界を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なるグラフ $F$ に対して、$\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$、$\mathrm{ex}_r(n,F^+)$、$\mathrm{ex}(n,K_r,F)$ の漸近的比較はどのようになるか？
• RQ2 3-一様超グラフについて、$\mathrm{ex}_3(n,\text{Berge-}\{C_2,C_3,C_4\})$ の漸近的挙動は何か？
• RQ3 どのグラフ $F$ に対して、3 つの極値関数 $\mathrm{ex}(n,K_r,F)$、$\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$、$\mathrm{ex}_r(n,F^+)$ が漸近的に同値となるか？
• RQ4 Berge-$C_3$ や $C_4$ を含まない 5-サイクルの girth を持つ $r$-一様超グラフに、最大で何本の辺を含められるか？
• RQ5 $F$ の彩色数は、$\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$ の漸近的挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $t\geq s\geq 3$ である $F=K_{s,t}$ に対して、$\mathrm{ex}_3(n,\text{Berge-}K_{s,t})=O(n^{3-3/s})$ が確立され、$K_{s,t}^+$ の既知の境界と一致する。
• 漸近公式 $\mathrm{ex}_3(n,\text{Berge-}\{C_2,C_3,C_4\})=\frac{1}{6}n^{3/2}+o(n^{3/2})$ は、このような超グラフの数に関する数え上げ結果によって補完される。
• $\chi(F)>r$ であるグラフ $F$ に対して、3 つの極値関数 $\mathrm{ex}(n,K_r,F)$、$\mathrm{ex}_r(n,\text{Berge-}F)$、$\mathrm{ex}_r(n,F^+)$ は漸近的に同値であり、すべて $\sim\binom{k-1}{r}(\frac{n}{k-1})^r$ を満たす。ここで $k=\chi(F)$ である。
• girth が 5 で $m$ 条の辺を持つ $r$-一様超グラフの数は、$\mathrm{exp}\left(n^{4/3}\log^3 n + (\log n + O(1))\sum d_i - 2\sum d_i\log d_i\right)$ で抑えられ、これは $\mathrm{exp}(n^{4/3}\log^3 n - 2m\log(m/n) + o(m\log m))$ に簡略化される。
• コンテナ補題を用いて $\mathrm{ind}(H_i,d_i)$ の上限が得られ、$\mathrm{ind}(H_i,d_i)\leq \binom{i}{i^{1/3}}\binom{i/d_i}{d_i - i^{1/3}}$ となる。この不等式は、有効な超グラフ拡張の数を制御するために用いられる。
• 最終的に $f_r(n,\mathcal{B}_4,m)$ の上限が $\mathrm{exp}(n^{4/3}\log^3 n + O(m\log n) - 2m\log(m/n))$ であることが示され、Berge-$\mathcal{B}_4$-自由な girth 5 の超グラフの数に対するタイトな推定が得られる。