[論文レビュー] Tur\'an numbers for disjoint paths

Long‐Tu Yuan, Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、すべての $ n $ に対して、$ F_m = P_{k_1} \cup \cdots \cup P_{k_m} $ という互いに頂点を共有しないパスの直和のためのターラン数 $ ex(n, F_m) $ を決定する。これは、従来の結果が十分に大きな $ n $ に限られていたのを拡張したものである。独創的な構造的アプローチを用いて、ブーシャウとケットルが提起した $ ex(n, k \cdot P_l) $ に関する予想を確認し、同様のターラン数を持つ非同型のグラフの存在を特定し、エレドシュとシモノビーツが提起した問題に応える。

ABSTRACT

The Tur\\'{a}n number of a graph $H$, $ex(n,H)$, is the maximum number of edges in any graph of order $n$ which does not contain $H$ as a subgraph. Lidick\\'{y}, Liu and Palmer determined $ex(n, F_m)$ for $n$ sufficiently large and proved that the extremal graph is unique, where $F_m$ is disjoint paths of $P_{k_1}, \\ldots, P_{k_m}$ [Lidick\\'{y},B., Liu,H. and Palmer,C. (2013). On the Tur\\'{a}n number of forests. Electron. J. Combin. 20(2) Paper 62, 13 pp]. In this paper, by mean of a different approach, we determine $ex(n, F_m)$ for all integers $n$ with minor conditions, which extends their partial results. Furthermore, we partly confirm the conjecture proposed by Bushaw and Kettle for $ex(n, k\\cdot P_l)$ [Bushaw,N. and Kttle,N. (2011) Tur\\'{a}n numbers of multiple paths and equibipartite forests. Combin. Probab. Comput. 20 837-853]. Moreover, we show that there exist two family graphs $F_m$ and $F_m^{\\prime}$ such that $ex(n, F_m)=ex(n, F_m^{\\prime})$ for all integers $n$, which is related to an old problem of Erd\\H{o}s and Simonovits.

研究の動機と目的

• Lidický, Liu, and Palmer が以前に示した範囲を超えて、$ F_m $ という互いに頂点を共有しないパスの直和のためのターラン数 $ ex(n, F_m) $ を決定すること。
• ブーシャウとケットルが提起した $ k \cdot P_l $（$ l $ 頂点のパスの $ k $ 個の直和）のターラン数に関する予想を確認すること。
• 非同型のグラフ $ F_m $ と $ F_m' $ が存在し、すべての $ n $ に対して $ ex(n, F_m) = ex(n, F_m') $ となるかどうかを調査すること。これは、エレドシュとシモノビーツが提起した長年の問題に応えるものである。

提案手法

• 互いに頂点を共有しないパスを避ける極値グラフの構造的解析を行い、成分分解と頂点の近傍制約に注目する。
• $ n $ を $ (m-1) + t(l-1) + r $ の整数分割によって定義される関数 $ [n, k, l] $ を用いて、パスの直和のターラン数を計算する。
• 完全多部グラフと結合演算を用いた極値グラフ理論の技法を応用し、極値グラフを構成し、その上限を導出する。
• グラフ $ G - P_k $ のうち、パス $ P_k $ に隣接する頂点数に基づく場合分けを行い、辺数と禁止部分グラフに関する事実を用いる。
• 背理法を用いて、提案されたターラン数を超える辺数を持つグラフは、禁止されたパス構成を含むべきであることを示す。
• $ ex(n, P_m) $ を表す関数 $ [n, m] $ を用い、極値構成を比較・統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ n $ に対して、$ m $ 個のパス $ P_{k_1}, \dots, P_{k_m} $ の直和 $ F_m $ の正確なターラン数 $ ex(n, F_m) $ は何か？ これは十分に大きな $ n $ に限らない。
• RQ2 ブーシャウとケットルの $ ex(n, k \cdot P_l) $ に関する予想は、すべての $ n $ に対して成り立つか？ また、元の証明とは異なる方法で確認できるか？
• RQ3 すべての $ n $ に対して $ ex(n, F_m) = ex(n, F_m') $ となるような非同型のグラフ $ F_m $ と $ F_m' $ が存在しうるか？ そのような場合、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 $ F_m = \bigcup_{i=1}^m P_{k_i} $ のすべての極値グラフの完全な族は何か？ また、パス長の偶奇にどのように依存するか？
• RQ5 パスの直和の総頂点数が $ n $ より小さい場合と大きい場合とで、極値グラフの構造はどのように変化するか？

主な発見

• Lidický, Liu, and Palmer の結果を拡張し、すべての $ n $ に対してターラン数 $ ex(n, F_m) $ が決定された。
• ブーシャウとケットルの $ ex(n, k \cdot P_l) $ に関する予想は、すべての $ n $ に対して確認され、極値グラフは $ K_{k-1} \cup t \cdot K_{l-1} \cup K_r $ または、偶奇に応じた結合構成で特徴づけられる。
• 本稿では、すべての $ n $ に対して $ ex(n, F_m) = ex(n, F_m') $ を満たす非同型のグラフ $ F_m $ と $ F_m' $ を特定し、エレドシュ–シモノビーツの問題に関する新しい例を提供した。
• $ F_m $ の極値グラフは、パス長の偶奇に応じて、$ K_{\sum k_i - 1} \cup Ex(n - \sum k_i + 1, P_{k_m}) $ または、完全グラフと大きな独立集合の補グラフの結合である。
• すべての $ k_i $ が奇数の場合、結合構成には $ K_2 $ が含まれる。一方、混合または偶数長のパスでは、結合は $ \overline{K}_{n - \sum \lfloor k_i/2 \rfloor + 1} $ を用い、すべての $ k_i $ が奇数のとき $ c=1 $、それ以外は $ c=0 $ となる。
• 最大ターラン数は、$ \max\left\{[n,k_1,k_1], [n,k_1+k_2,k_2], \dots, [n,\sum k_i, k_m], [n,\sum \lfloor k_i/2 \rfloor] + c\right\} $ で与えられ、$ c $ は上記のように定義される。