[論文レビュー] Turán number of disjoint triangles in 4-partite graphs

Jie Han, Yi Zhao|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、十分に大きな部のサイズを持つ4部グラフにおける$k$個の頂点に分けられた三角形のツラン数を決定し、最大辺数が分割のサイズと$k$に依存する関数$g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$で与えられることを証明している。結果は2つの明示的構成によって達成され、タイトである。また、段階的および標準的帰納法を用いた、より前のmultipartiteグラフにおけるツラン問題の研究を拡張している。

ABSTRACT

Let $k\ge 2$ and $n_1\ge n_2\ge n_3\ge n_4$ be integers such that $n_4$ is sufficiently larger than $k$. We determine the maximum number of edges of a 4-partite graph with parts of sizes $n_1,\dots, n_4$ that does not contain $k$ vertex-disjoint triangles. For any $r> t\ge 3$, we give a conjecture on the maximum number of edges of an $r$-partite graph that does not contain $k$ vertex-disjoint cliques $K_t$.

研究の動機と目的

• 部のサイズが十分に大きいとき、4部グラフにおける$k$個の頂点に分けられた三角形のツラン問題を解く。
• 部のサイズが$n_1 \geq n_2 \geq n_3 \geq n_4 \geq 6k^2$である$kK_3$-自由な4部グラフにおける最大辺数を特定する。
• $kK_t$を避ける$r$部グラフにおける極値的結果を拡張し、一般の$r > t \geq 3$に対する予想を提示する。
• 2つの極値的構成$G_1$と$G_2$を用いてタイトな上界を確立し、帰納法を用いて最適性を証明する。

提案手法

• 全頂点数に関する段階的帰納法と$k$に関する標準的帰納法を用い、定理1.1を基本ケースとする。
• 関数$g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$を定義し、$n_1 \leq n_2 + n_3$か$n_1 > n_2 + n_3$かに応じて2つの式の最大値として定義する。
• 高さの和が大きい辺（豊富な辺）を考慮し、その削除によって辺数と三角形自由条件を分析する。
• 頂点や辺を削除した後の部分グラフに帰納法を適用し、$kK_3$が存在すると仮定して矛盾を導く。
• $|Z| = k-1$を満たす$G_1 = K_{V_1 \cup V_4, V_2 \cup V_3} \cup K_{Z, V_1}$および$G_2 = K_{V_1, V_2 \cup V_3 \cup V_4} \cup K_{Z, V_2 \cup V_3}$という極値的構成を用いてタイト性を示す。
• 次数と辺数の不等式を用いて、$V_1$と交差する三角形や$V_1 \times (V_2 \cup V_3 \cup V_4)$に属する豊富な辺を含む三角形を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての$n_i$が十分に大きいとき、部のサイズが$n_1 \geq n_2 \geq n_3 \geq n_4$である$kK_3$-自由な4部グラフにおける最大辺数は何か？
• RQ2 すべての$k \geq 1$に対して、極値的数$\operatorname{ex}(K_{n_1,n_2,n_3,n_4}, kK_3)$は正確に特徴付けられるか？
• RQ3 $G_1$と$G_2$の構成は、辺数と$kK_3$-自由性においてどのように比較できるか？
• RQ4 すべての大きな部のサイズに対して、$g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$の境界はタイトか？
• RQ5 予想1.4における境界は、任意の$r > t \geq 3$に一般化可能か？

主な発見

• すべての$n_4 \geq 6k^2$および$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 \geq N_0(k)$に対して、ツラン数$\operatorname{ex}(K_{n_1,n_2,n_3,n_4}, kK_3)$は$g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$によって上から抑えられる。
• 境界$g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$はタイトであり、$G_1$と$G_2$の両方がこの辺数を達成し、$kK_3$-自由である。
• $G_1$は$e(G_1) = (n_1 + n_4)(n_2 + n_3) + (k-1)n_1$を達成し、$G_2$は$e(G_2) = n_1(n_2 + n_3 + n_4) + (k-1)(n_2 + n_3)$を達成する。
• $n_1 \leq n_2 + n_3$のとき$G_1$が最大値を達成し、$n_1 > n_2 + n_3$のとき$G_2$が達成し、$n_1 = n_2 + n_3$で等号が成り立つ。
• 証明は、基本ケースを必要とせず、$k-1$個の頂点に分けられた三角形の存在を仮定し、豊富な辺を削除することで矛盾を導く段階的帰納法を用いている。
• $N_0(k)$は$k$に関して二重指数関数的であり、$k \geq 3$に対して$N_0(k) \leq (2N_0(2))^{2^{k-2}}$を満たす。これは多項式境界への改善の余地があることを示唆している。