[論文レビュー] Turaev-Viro invariants as an extended TQFT III

Benjamin Balsam|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Geometric and Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、閉じた曲面のレベルで、Turaev-Viro と Reshetikhin-Turaev のトポロジカル量子場理論の間の自然な同型を確立し、表面のパrametrization とカット系を介して、それらの状態空間が標準的に同型であることを示している。主な結果は、既知の 3-多様体不変量の等価性を、拡張 TQFT の同値性へと拡張するものであり、セル分解と接合公理を用いた、埋め込みられたリボングラフを持つ多様体における状態和の明示的計算が行われる。

ABSTRACT

In the third paper in this series, we examine the Reshetikhin-Turaev and Turaev-Viro TQFTs at the level of surfaces. In particular, we show that for a closed surface $Σ$, $Z_{TV, \mathcal{C}}(Σ) \cong Z_{RT, Z(\C)}(Σ)$, thus extending the equality of 3-manifold invariants proved in an earlier paper to an equivalence of TQFTs. We also describe how to compute Turaev-Viro state sums for 3-manifolds with embedded ribbon graphs.

研究の動機と目的

• Turaev-Viro と Reshetikhin-Turaev の 3-多様体不変量の既知の等価性を、曲面レベルでの拡張 TQFT の同値性へと拡張すること。
• モジュラーファンクター構成における分解選択の依存性を解消し、表面カット系によって誘導される自然同型を通じて、TV と RT 理論が同型な状態空間をもたらすことを示すこと。
• 埋め込みられたリボングラフを持つ 3-多様体における Turaev-Viro 状態和を体系的に計算する方法を提供すること、特に、コフレに接続された色なしストランドを含む場合も含むこと。
• TQFT が 3 次元に限らず、特に曲面レベルでも同値であることを示し、状態空間間の自然な同一視を構成すること。

提案手法

• Bakalov-Kirillov の表面パラメータ化を用い、RT のペア・オブ・パンツ分解（TV のセル分解）を関連づけ、非局所的および局所的構成の比較を可能にする。
• Lego-Teichmüller ゲームの動きを適用し、異なるカット系を関連づけ、それらに対応する TV 状態空間間の自然同型を構成し、RT の接合写像と一致させる。
• 接合公理と射影子 $ H_{TV}(\Sigma) \to Z_{TV}(\Sigma) $ を用い、得られる状態空間が分解の選択に依存しないことを示す。
• ハンドル体コボルディズムとシリンダーマップを用い、特に F-および S-移動について図式の可換性を検証し、異なるパラメータ化間での一貫性を保証する。
• 状態和の公式と手術技法を適用し、一般のリボングラフを、色付きストランドのみを含む簡単なケースに還元することにより、不変性を証明する。
• 球面的ファイブレーションカテゴリ $ \mathcal{C} $ の Drinfeld 中心構成 $ Z(\mathcal{C}) $ を用い、TV 不変量とモジュラー RT 不変量を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解の選択に依存しない、閉曲面のレベルで Turaev-Viro と Reshetikhin-Turaev TQFT 間の自然な同型は存在するか？
• RQ2 Turaev-Viro 状態和は、色なしストランドがコフレに接続された場合を含め、埋め込みられたリボングラフを持つ 3-多様体へと一貫的に拡張可能か？
• RQ3 Lego-Teichmüller ゲームにおける F-および S-移動は、RT 接合写像と一致する TV 状態空間間の自然同型を誘導するか？
• RQ4 コーナー付きの拡張多様体と $ Z(\mathcal{C}) $ の対象でラベル付けされた境界成分を含む場合、TQFT の同値性は保たれるか？
• RQ5 コボルディズムと手術技法を用いて、TV 不変量の状態和計算を不変性を保ちながら標準形に還元可能か？

主な発見

• 任意の閉曲面 $ \Sigma $ に対して、自然な同型 $ Z_{TV,\mathcal{C}}(\Sigma) \cong Z_{RT,Z(\mathcal{C})}(\Sigma) $ が存在し、曲面レベルでの二つの TQFT の同値性を確立する。
• genus $ g $ の曲面上の状態空間の次元は $ \mathcal{D}^{2g-2} \sum_{i \in \mathrm{Irr}(\mathcal{C})} d_i^{2-2g} $ に一致し、TV および RT 理論の両方で同様の値をとる。
• Lego-Teichmüller ゲームにおける F-移動および S-移動は、RT 接合写像と整合する TV 状態空間間の自然同型を誘導し、分解間の一貫性を保証する。
• リボングラフを伴う 3-多様体における Turaev-Viro 状態和は、コフレに接続された色なしストランドの存在に関係なく不変であり、コボルディズムを用いて同値な色付き構成に還元可能である。
• コーナー付き多様体に制限した場合、3-2-1 理論としての拡張 TQFT は、多様体の種類にやや厳しい条件を課す限り、同値である。
• 4 疎きの球面上の状態空間上の恒等写像は、ハンドル体コボルディズム $ \mathcal{H} $ を通じて実現され、このようなコボルディズムを接合しても状態和の値が変化しないことが示され、不変性が保たれる。