[論文レビュー] Turan's problem 10 revisited

Johan Andersson|ArXiv.org|Sep 11, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、複素数の単位円上または外にある場合のべき和の最大値に対する鋭い上界を確立することで、トゥーランの問題10を解決する。確率的技法、算術的構成（モンゴメリー、ファブリコフスキー、アンダーソン）、モーメント推定、および素数の差の評価（ベイカー＝ハーマン＝ピンツ）を組み合わせることで、$ u = 1,\dots,n^2$ の範囲で $ left|\sum_{k=1}^n z_k^\nu\nright|$ の下界最大値が $ sqrt{n} + O(n^{0.2625+\epsilon})$ であることを証明する。これは、エルデシュとレーニの以前の $O(\sqrt{n\log n})$ の境界を改善するものである。

ABSTRACT

In this paper we prove that inf_{|z_k| => 1} max_{v=1,...,n^2} |sum_{k=1}^n z_k^v| = sqrt n+O(n^{0.2625+epsilon}). This improves on the bound O(sqrt (n log n)) of Erdos and Renyi. In the special case of $n+1$ being a prime we have previously proved the much sharper result that the quantity lies in the interval [sqrt(n),sqrt(n+1)] The method of proof combines a general lower bound (of Andersson), explicit arithmetical constructions (of Montgomery, Fabrykowski or Andersson), moments (probabilistic methods) and estimates for the difference of consecutive primes (of Baker, Harman and Pintz). We also prove some (conditional and unconditional) related results.

研究の動機と目的

• 一般の整数 $n$ に対してトゥーランの問題10を解決し、$n+1$ が素数である場合にのみ成り立っていた先行の結果を拡張すること。
• $ u = 1,\dots,n^2$ の範囲でべき和の最大値に対するエルデシュ＝レーニの境界 $O(\sqrt{n\log n})$ を改善すること。
• $|z_k| \geq 1$ のとき、$\left|\sum_{k=1}^n z_k^\nu\right|$ の下界最大値に対するタイトな漸近的推定を確立すること。$\sqrt{n}$ に近づく。

提案手法

• アンダーソンによる一般の下界と、ユニモジュラーな $z_k$ のための明示的な算術的構成（モンゴメリー、ファブリコフスキー、アンダーソン）を組み合わせる。
• 確率的技法とモーメント推定を用いて、べき和最大値の尾部挙動を制御する。
• 連続する素数の差の推定（ベイカー＝ハーマン＝ピンツ）を用いて、上界を精緻化する。
• モンゴメリーの構成の新しい変種を導入し、$m$ が1に近いときの $m n^2$ までの $ nu$ に対して $O(\sqrt{n})$ 型の境界を達成する。
• ニュートン＝ジラールの恒等式とカセルスの補題を用いて、$ nu$ が $n^2 - n + 1$ までの場合に、$\sqrt{n}$ の普遍的な下界を導出する。この結果を確率的議論により $n^2$ まで拡張する。
• 有限体上の指標和推定（カツ）を用いて、$n^{2m}$ のような高い $ nu$ 範囲に対して下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $n$ に対して、べき和の最大値に対するエルデシュ＝レーニの境界 $O(\sqrt{n\log n})$ を改善できるか？
• RQ2 $n+1$ が素数でない場合に、$\left|\sum_{k=1}^n z_k^\nu\right|$ の下界最大値に対する下界 $\sqrt{n}$ が鋭いか？
• RQ3 $\alpha > 1$ のとき、$\inf_{|z_k|\geq 1} \max_{\nu=1,\dots,\lfloor \alpha n^2 \rfloor} \left|\sum_{k=1}^n z_k^\nu\right|$ の正しい漸近的オーダーは何か？
• RQ4 一般の $n$ に対して、上界を $\sqrt{n} + o(\sqrt{n})$ にまで絞れるか、それとも $n^{0.2625+\epsilon}$ が最良の指数か？
• RQ5 $|z_k| = 1$ と $|z_k| \geq 1$ の場合で、漸近的挙動は顕著に異なるか？

主な発見

• この論文は、$\inf_{|z_k|\geq 1} \max_{\nu=1,\dots,n^2} \left|\sum_{k=1}^n z_k^\nu\right|$ に対して上界 $\sqrt{n} + O(n^{0.2625+\epsilon})$ を確立し、エルデシュとレーニの $O(\sqrt{n\log n})$ の境界を著しく改善する。
• $n+1$ が素数である特別な場合、境界は鋭い：$\sqrt{n} \leq \inf \max \left|\sum z_k^\nu \right| \leq \sqrt{n+1}$ であり、この場合に $\sqrt{n}$ のオーダーがタイトであることが確認される。
• 確率的技法と明示的構成（モンゴメリー、ファブリコフスキー、アンダーソン）、および素数のギャップ推定（ベイカー＝ハーマン＝ピンツ）を組み合わせることで、誤差項を精緻化する。
• 著者らは、カセルスの補題とニュートン＝ジラールの恒等式を用いて、$\max_{\nu=1,\dots,n^2 - n + 1} \left|\sum z_k^\nu\right|$ に対して $\sqrt{n}$ の普遍的下界を証明する。
• 一般の $\alpha > 0$ に対して、$\underline{A}(\alpha)\sqrt{n} \leq \inf \max \left|\sum z_k^\nu \right| \leq \overline{A}(\alpha)\sqrt{n}$ の境界を提供する。$\alpha \leq 1$ のとき $\underline{A}(\alpha) = 1 - \sqrt{1 - \alpha}$ であり、$\alpha < 1$ のとき $A(\alpha) = 1$ であると示唆する。
• 予想5では、$|z_k| \geq 1$ または $|z_k| = 1$ のどちらの設定でも、漸近的定数 $A(\alpha)$ が同一であると述べており、$\sqrt{n}$ のオーダーが両設定で一貫して成立することを示唆する。