[論文レビュー] Turbulence in differentially rotating flows What can be learned from the Couette-Taylor experiment

Denis Richard, Jean-Paul Zahn|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 1999

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ひとこと要約

本稿では、降着円盤や星の内部に代表される天体物理的系に関連する、非均一に回転する流れにおける乱流的角運動量輸送が、コウエット＝テイラー実験の結果を用いてモデル化可能であると提唱している。1930年代にウェンドトとテイラーが行った、外向きに角運動量が増加する流れに関する実験を分析することで、ギャップ幅に依存しない臨界勾配レイノルズ数 $ Re^{*}_{c} \lesssim 6 \times 10^5 $ を特定し、局所的なせん断に比例する乱流粘性係数 $ \nu_t = \beta Re^{*} \nu $ を導出。これは、標準的な $ \alpha $-粘性係数の手法とは異なり、物理的に根拠を持つ代替手法を提供する。

ABSTRACT

The turbulent transport of angular momentum plays an important role in many astrophysical objects, but its modelization is still far from satisfactory. We discuss here what can be learned from laboratory experiments. We analyze the results obtained by Wendt (1933) and Taylor (1936) on the classical Couette-Taylor flow, in the case where angular momentum increases with distance from the rotation axis, which is the most interesting for astrophysical applications. We show that when the gap between the coaxial cylinders is wide enough, the criterion for the onset of the finite amplitude instability can be expressed in terms of a gradient Reynolds number. Based on Wendt's results, we argue that turbulence may be sustained by differential rotation when the angular velocity decreases outward, as in keplerian flows. From the rotation profiles and the torque measurements we deduce a prescription for the turbulent viscosity which is independent of gap width; with some caution it may be applied to stellar interiors and to accretion disks.

研究の動機と目的

• 角運動量が外向きに増加する場合、降着円盤や星の内部に代表される天体物理的系に関連する、非均一に回転する流れにおける乱流的角運動量輸送を理解すること。
• 特に、コウエット＝テイラー流という実験的流れが、天体物理的系における有限振幅乱流を信頼できる根拠として提供できるかどうかを検証すること。
• ギャップ幅に依存せず、降着円盤のような天体物理的流れに適用可能な、乱流閉じ込め法（具体的には乱流粘性係数）を導出すること。
• ウェンドトのデータから導かれた $ \nu_t \propto Re^{*} $ のスケーリング則が、中立的および不安定な流れにおいて有効であるかどうかを検証すること。
• 得られた粘性係数法が、圧縮性で三次元的な流れ（例えば降着円盤）に適用可能であるかどうかを評価し、渦のスケールと速度が物理的に妥当であることを確認すること。

提案手法

• 外側シリンダーが回転し、内側が静止しているコウエット＝テイラー流れに関する、ウェンドト（1933年）およびテイラー（1936年）の歴史的実験データの分析。これは、外向きに角運動量が増加する状況に対応する。
• 局所的なせん断を捉えるために、勾配レイノルズ数 $ Re^{*} = R^3 (\Delta\Omega / \Delta R) / \nu $ を定義し、有限振幅不安定化の発生を特定する。
• トルク測定値および回転速度プロファイルのデータを用いて、仮定された $ \nu_t \propto \beta Re^{*} \nu $ のもとで、有効な乱流粘性係数 $ \nu_t $ を推定。ここで $ \beta $ は無次元定数。
• ギャップ幅を変化させた実験結果を比較することで、臨界 $ Re^{*}_{c} $ およびそれによる $ \nu_t $ が幾何的要因に依存しないかどうかを検証。
• 乱流粘性係数の $ \nu_t \propto Re^{*} $ スケーリングを、特にケプラー的円盤に相当する天体物理的状態にまで外挿し、渦のスケール $ \ell \approx \sqrt{\beta} R $ および速度に制約を課す。
• 安定でも不安定でもない「中立的」な流れを評価し、角速度勾配に沿って常に角運動量輸送が進行することを確認。これにより、提案された法則の頑健性を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コウエット＝テイラー実験は、非均一に回転する天体物理的流れにおける乱流的角運動量輸送を信頼できる実験的根拠として提供可能か？
• RQ2 角運動量が外向きに増加する非均一に回転する流れにおける有限振幅不安定化の臨界閾値は何か？また、ギャップ幅に依存するか？
• RQ3 このような流れにおける乱流粘性係数は勾配レイノルズ数 $ Re^{*} $ に比例するか？もしそうなら、関数的形はどのようなものか？
• RQ4 提案された粘性係数法 $ \nu_t = \beta Re^{*} \nu $ は、標準的な $ \alpha $-粘性係数法と比較して、物理的整合性および降着円盤への適用可能性において優れているか？
• RQ5 渦のスケールと速度が、圧縮性で三次元的な流れ（例えば降着円盤）への適用可能性にどのような制約を課すか？

主な発見

• 非均一に回転するコウエット＝テイラー流れにおける有限振幅不安定化の臨界勾配レイノルズ数は $ Re^{*}_{c} \lesssim 6 \times 10^5 $ であり、広いギャップではギャップ幅に依存しない。
• 乱流的角運動量輸送は常に角速度勾配に沿って進行し、ケプラー的円盤に類似した流れにおいて外向きに輸送されることを確認した。
• 乱流粘性係数は $ \nu_t = \beta Re^{*} \nu $ に比例し、$ \beta \approx 10^{-4} $ はウェンドトのデータから導出。このスケーリングはギャップ幅に依存しない。
• 主な乱流渦のスケールは $ \ell \approx \sqrt{\beta} R \approx \Delta R / 100 $ と推定され、ギャップ幅に比べてはるかに小さいことが示された。
• 低 $ Re $ 時における角運動量輸送の $ \Omega^{3/2} $ スケーリングは、高 $ Re $ 時に $ \Omega^2 $ スケーリングに置き換わり、より強いせん断駆動乱流への遷移を示している。
• 粘性係数法 $ \nu_t = \beta' r^2 \Omega $ で $ \beta' = \frac{3}{2}\beta $ とすると、リンドン＝ベルンとプリングル（1974年）が提唱した形式と同等であり、活動銀河核の降着円盤モデルに応用可能であることを支持する。