[論文レビュー] Turbulent flows as generalized Kelvin-Voigt materials: modeling and analysis

Chérif Amrouche, Luigi C. Berselli+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 29被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、乱流の混合長 ℓ(x) が空間的に変化し、壁面で消えるように設定された一般化されたケルビン＝ヴォイチト粘弾性材料として3次元非圧縮性乱流をモデル化する新しい枠組みを提案する。モデルは正則性を高めるために正則化項 −α∇·(ℓ(x)Dvₜ) を導入し、乱流平均ナビエ＝ストークス＝乱流運動エネルギー（RANS-TKE）系に二次源項を含む場合に対し、初めての厳密な解の存在および一意性の証明を、切り捨てとコンパクト性の議論を用いて達成する。

ABSTRACT

We model a 3D turbulent fluid, evolving toward a statistical equilibrium, by adding to the equations for the mean field $(v, p)$ a term like $-\\alpha \ abla\\cdot(\\ell(x) D v_t)$. This is of the Kelvin-Voigt form, where the Prandtl mixing length $\\ell$ is not constant and vanishes at the solid walls. We get estimates for velocity $v$ in $L^\\infty_t H^1_x \\cap W^{1,2}_t H^{1/2}_x$, that allow us to prove the existence and uniqueness of a regular-weak solutions $(v, p)$ to the resulting system, for a given fixed eddy viscosity. We then prove a structural compactness result that highlights the robustness of the model. This allows us to pass to the limit in the quadratic source term in the equation for the turbulent kinetic energy $k$, which yields the existence of a weak solution to the corresponding Reynolds Averaged Navier-Stokes system satisfied by $(v, p, k)$.

研究の動機と目的

• 空間的に変化するプロラン混合長 ℓ(x) を含むケルビン＝ヴォイチト粘弾性枠組みを拡張することで、3次元非圧縮性乱流の数学的に厳密なモデルの構築を目的とする。
• 乱流粘性係数 ν_turb(ℓ(x)) を有する、結果として得られる乱流平均ナビエ＝ストークス系の正則弱解の存在および一意性を確立すること。
• 乱流運動エネルギー（TKE）方程式における二次源項 ν_turb(k)|Dv|² が事前に L¹(Q_T) に属するのみであるという課題に対処すること。
• 切り捨てに基づく正則化とコンパクト性の議論を用いて、全NSTKE系に対する弱解の存在を証明すること。

提案手法

• 境界で消える C¹ 関数である ℓ(x) を用いて、平均運動量方程式に一般化されたケルビン＝ヴォイチト項 −α∇·(ℓ(x)Dvₜ) を導入する。
• エネルギー不等式とTKE方程式を用いて、乱流応力の構成則 σᴿ = −αℓDvₜ − ν_turbDv + (2/3)k Id を導出する。
• 二次源項 ν_turb(k)|Dv|² および初期データに対して切り捨て操作 Tₙ を適用し、可積分性を保証するとともに、固定点反復法の適用を可能にする。
• Leray-Schauderの固定点定理を用いて、初期値 k⁰ ≡ 0 から始める反復的正則化系を解く。
• コンパクト性と一様有界性を活用し、kⁿ が L^q(0,T;W₀^{1,q}) で弱収束し、Q_T ほぼ everywhere で収束することを確立する。
• 補題5.1を用いて、二次源項における極限への渡りを示し、測度の意味で収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に変化する混合長 ℓ(x) を有する一般化されたケルビン＝ヴォイチトモデルは、統計的平衡に近づく乱流のモデル化に数学的に妥当な枠組みを提供できるか？
• RQ2 乱流粘性係数 ν_turb(k) が乱流運動エネルギー k に依存する場合、RANS系の正則弱解の存在および一意性をどのように証明できるか？
• RQ3 TKE方程式における二次源項 ν_turb(k)|Dv|² が事前に L¹(Q_T) にしか属しないという可積分性の問題に対処するための数学的技法は何か？
• RQ4 切り捨てに基づく反復スキームにおいて、極限に渡る操作が可能であり、全NSTKE系に対する弱解を回復できるか？
• RQ5 モデルの構造的コンパクト性は、最小限の正則性仮定のもとで非線形項の収束を保証できるか？

主な発見

• 物理的に妥当な正則化項 −α∇·(ℓ(x)Dvₜ) を導入することで、速度の正則性が向上し、解が L∞ₜH¹ₓ ∩ W¹,²ₜH¹/²ₓ に属することを示した。
• ℓ(x) ∈ C¹(Ω̅) かつ境界で消えるという仮定の下で、固定された乱流粘性係数 ν_turb を有するRANS系に対して、正則弱解 (v,p) の存在および一意性が証明された。
• 二次源項 ν_turb(k)|Dv|² は切り捨て Tₙ を用いて取り扱われ、コンパクト性の議論を用いて反復スキームにおける極限への渡りが可能となった。
• kⁿ がすべての 1 ≤ q < 5/4 に対して L^q(0,T;W₀^{1,q}) で弱収束し、Q_T ほぼ everywhere で収束することが確立され、TKE方程式に対する弱解の存在が保証された。
• 切り捨てされた源項 Tₙ(ν_turb(kⁿ)|Dvⁿ|²) の極限が測度の意味で ν_turb(k)|Dv|² に収束し、全NSTKE系の回復が可能となった。
• モデルの構造的コンパクト性により、閉じ込め仮定なしに極限への渡りが可能であり、解はエネルギー不等式を満たすことが保証された。