[論文レビュー] Turing and wave instabilities in hyperbolic reaction-diffusion systems: The role of second-order time derivatives and cross-diffusion terms on pattern formation

Joshua Ritchie, Andrew L. Krause+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2022

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 54被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、2階時間微分項とクロス拡散項を有する双曲型反応拡散系におけるチューリング不安定性および波動不安定性を調査する。両不安定性の必要十分条件を導出し、時間微分項がチューリングパターンの形を変えることなく、その発生可能なパrameter領域を制限することを示す。一方、波動不安定性は、古典的系に存在しない空間時間的パターンを可能にする。本質的に、波動不安定性はチューリングパターンと互いに排他的な条件下で発生し、活性化剤の拡散が阻害剤より速い場合でも対称性の破れを引き起こす可能性を示す。

ABSTRACT

Hyperbolic reaction-diffusion equations have recently attracted attention both for their application to a variety of biological and chemical phenomena, and for their distinct features in terms of propagation speed and novel instabilities not present in classical two-species reaction-diffusion systems. We explore the onset of diffusive instabilities and resulting pattern formation for such systems. Starting with a rather general formulation of the problem, we obtain necessary and sufficient conditions for the Turing and wave instabilities in such systems, thereby classifying parameter spaces for which these diffusive instabilities occur. We find that the additional temporal terms do not strongly modify the Turing patterns which form or parameters which admit them, but only their regions of existence. This is in contrast to the case of additional space derivatives, where past work has shown that resulting patterned structures are sensitive to second-order cross-diffusion and first-order advection. We also show that additional temporal terms are necessary for the emergence of spatiotemporal patterns under the wave instability. We find that such wave instabilities exist for parameters which are mutually exclusive to those parameters leading to stationary Turing patterns. This implies that wave instabilities may occur in cases where the activator diffuses faster than the inhibitor, leading to routes to spatial symmetry breaking in reaction-diffusion systems which are distinct from the well studied Turing case.

研究の動機と目的

• 一般の双曲型反応拡散系において、チューリング不安定性および波動不安定性が発生する条件を分類すること。
• 2階時間微分項およびクロス拡散項が、出現するパターンの可能性および構造に与える影響を特定すること。
• パターン形成ダイナミクスを形作る要因としての時間的・空間的高階微分項の役割を対比すること。
• 古典的放物型系では不可能な波動不安定性が発生するパrameter領域を同定すること。
• これらの不安定性が生物学的・物理的パターン形成に与える影響、特に古典的チューリング仮定に反する状況（例：活性化剤の拡散が速い）における意義を検討すること。

提案手法

• 2階時間微分項およびクロス拡散項を有する一般の2種類の双曲型反応拡散系を定式化する：τ₁∂²u/∂t² = ∇·(d₁₁∇u + d₁₂∇v) + f(∂u/∂t, ∂v/∂t, u, v), τ₂∂²v/∂t² = ∇·(d₂₁∇u + d₂₂∇v) + g(∂u/∂t, ∂v/∂t, u, v)。
• 均一定常状態に対する線形安定性解析を適用し、不安定性のための分散関係および固有値条件を導出する。
• チューリング不安定性（空間的に不均一な定常パターン）および波動不安定性（空間時間的周期的パターン）の必要十分条件を導出する。
• カタネオ＝クリスティーフィックス法則および反応・トランジット方程式形式を用いて、双曲型構造の物理的根拠を裏付ける。
• 完全非線形数値シミュレーションを実施し、理論的予測の妥当性を検証し、パターンダイナミクスを可視化する。
• 古典的放物型系、クロス拡散を含む・含まない双曲型系、および退化系（例：スカラー方程式）との結果を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階時間微分項は、双曲型反応拡散系におけるチューリング不安定性の発生および構造にどのように影響するか？
• RQ2 波動不安定性はどのような条件下で発生し、古典的チューリング不安定性やチューリング＝ホップ不安定性とはどのように異なるか？
• RQ3 活性化剤が阻害剤よりも速く拡散する場合でも、波動不安定性は発生可能か？ そして、これは古典的チューリングメカニズムを越えたパターン形成のスコープをどのように拡張するか？
• RQ4 クロス拡散項は、これらの項が存在しない系と比較して、チューリングパターンおよび波動パターンの発生可能性および形状にどのように影響を与えるか？
• RQ5 波動不安定性による空間時間的パターンの生成に必要な最小限のシステム要件（時間微分の次数および種子数）は何か？

主な発見

• 2階時間微分項は、標準的なチューリング不安定性条件（3.15）–（3.16）を変更しない。それらは、発生可能なパrameter領域を僅かに変更するにとどまり、場合によっては縮小させる可能性がある。
• 2階時間微分項を追加しても、最終的な定常チューリングパターンの形状は本質的に変わらない。これは、チューリングパターンの形態が時間微分項に対して頑健であることを示唆する。
• 波動不安定性は、2階時間微分項が存在する場合にのみ発生し、古典的放物型反応拡散系では発生しない。
• 波動不安定性は、定常チューリングパターンを支持するパrameter領域と互いに排他的な領域に存在する。これにより、パターン形成への別路線が可能になる。
• 波動不安定性は、空間的波長が1つに支配される空間時間的周期的パターンを生じさせ、混沌沌たるチューリング＝ホップ行動とは明確に異なるダイナミクスを示す。
• クロス拡散項は、チューリング不安定性および波動不安定性の両方の発生可能性および不安定性条件を顕著に変化させ、出現するパターンの形態を変える可能性がある。これは、時間微分項のみでは得られない影響である。