[論文レビュー] Turing jumps through provability

Joost J. Joosten|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2015

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Friedman-Goldfarb-Harrington (FGH) 定理を一般化し、$[n]^{\boxplus}_{T}$ と呼ばれる再帰的に定義された証明可能性予言子の階層を導入することで、$\Sigma_{n+1}$-定義可能性、そしてしたがって第$n$回のチューリングジャンプの『文法軽量』的特徴付けを提供する。主な結果は、これらの予言子が多モーダル証明論論理 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$ の健全な解釈を形成することであり、FGH定理を $\Sigma_1$ を超えて、算術的階層の高次レベルへと拡張することに成功している。

ABSTRACT

Fixing some computably enumerable theory $T$, the Friedman-Goldfarb-Harrington (FGH) theorem says that over elementary arithmetic, each $Σ_1$ formula is equivalent to some formula of the form $\Box_T φ$ provided that $T$ is consistent. In this paper we give various generalizations of the FGH theorem. In particular, for $n>1$ we relate $Σ_{n}$ formulas to provability statements $[n]_T^{\sf True}φ$ which are a formalization of "provable in $T$ together with all true $Σ_{n+1}$ sentences". As a corollary we conclude that each $[n]_T^{\sf True}$ is $Σ_{n+1}$-complete. This observation yields us to consider a recursively defined hierarchy of provability predicates $[n+1]^\Box_T$ which look a lot like $[n+1]_T^{\sf True}$ except that where $[n+1]_T^{\sf True}$ calls upon the oracle of all true $Σ_{n+2}$ sentences, the $[n+1]^\Box_T$ recursively calls upon the oracle of all true sentences of the form $\langle n angle_T^\Boxϕ$. As such we obtain a `syntax-light' characterization of $Σ_{n+1}$ definability whence of Turing jumps which is readily extended beyond the finite. Moreover, we observe that the corresponding provability predicates $[n+1]_T^\Box$ are well behaved in that together they provide a sound interpretation of the polymodal provability logic ${\sf GLP}_ω$.

研究の動機と目的

• 算術的階層の高次レベルへ FGH 定理を $\Sigma_1$ 公式から拡張すること。
• $[n]^\Box_T$ という証明可能性予言子を用いた $\Sigma_{n+1}$-定義可能性および第$n$回チューリングジャンプの記法的特徴付けを提供すること。
• $[n]^{\sf True}_T$ に基づくオラクルを再帰的オラクルである $\langle n\rangle^\Box_T$-式に置き換えた、再帰的に構成された証明可能性概念の階層 $[n]^\Box_T$ を定義すること。
• $[n]^\Box_T$ 予言子が多モーダル論理 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$ の健全な解釈を提供することを示すこと。

提案手法

• $[n]^\Box_T\varphi$ を、$\langle n\rangle^\Box_T\varphi$ の反復適用に基づく再帰的に定義された証明可能性予言子として導入し、$T$ における証明可能性に加え、すべての形式 $\langle n\rangle^\Box_T\psi$ の真なる文を含む体系を形式化する。
• $[n]^\Box_T$ が $[n]^{\sf True}_T$ を模倣するが、$\Sigma_{n+2}$ 真理のオラクルの代わりに $\langle n\rangle^\Box_T$-式の再帰的オラクルを用いる階層を構築する。
• FGH 定理の一般化を用いて、$[n]^\Box_T$ が $\Sigma_{n+1}$-完全であることを証明する。
• 数学的帰納法と形式化された FGH 理論を用いて、$[n]^\Box_T$ が ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$ の公理を満たすことを示し、特に $[n]A \to [n+1]A$ および $\langle n\rangle A \to [n+1]\langle n\rangle A$ を満たす。
• 形式化された証明論論理と $T$ および $\mathrm{EA}$ の健全性を用いて、標準モデル上での $[n]^\Box_T$ と $[n]^{\sf True}_T$ の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FGH 定理を算術的階層の $\Sigma_1$ を超えて高次レベルへ拡張することは可能か？
• RQ2 $\Sigma_{n+1}$-定義可能性の文法軽量的特徴付けは存在するか？ その特徴付けは第$n$回チューリングジャンプを捉えられるか？
• RQ3 再帰的に定義された証明可能性予言子の階層 $[n]^\Box_T$ を構成可能か？ その階層は $[n]^{\sf True}_T$ の振る舞いを模倣するか？
• RQ4 $[n]^\Box_T$ 予言子は多モーダル論理 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$ の健全な解釈を提供するか？

主な発見

• $[n]^\Box_T$ は $\Sigma_{n+1}$-完全である。つまり、任意の $\Sigma_{n+1}$ 公式は、ある $\varphi$ に対して $[n]^\Box_T\varphi$ と同値である。
• すべての $n$ に対して、$[n]^\Box_T\varphi \to [n]^{\sf True}_T\varphi$ は $\mathrm{EA}$ で証明可能であり、$[n]^\Box_T$ が $[n]^{\sf True}_T$ の保存的強化であることを示している。
• $\langle n\rangle^{\sf True}_T\top$ の仮定のもとで、$\mathrm{PA}$ 内で $[n+1]^\Box_T$ と $[n+1]^{\sf True}_T$ は同値である。
• $[n]^\Box_T$ 予言子は ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$ の公理を満たし、$\mathrm{PA}$ 内で論理の健全な解釈を提供する。
• $[n]^\Box_T$ の階層は論理和および論理積について閉じており、すなわち、$([n]^\Box_T\varphi \vee [n]^\Box_T\psi) \leftrightarrow [n]^\Box_T\sigma$ を満たす $\sigma$ が存在することが形式化されている。