[論文レビュー] Turnpike Properties in Optimal Control: An Overview of Discrete-Time and Continuous-Time Results

Timm Faulwasser, Lars Grüne|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2020

Advanced Control Systems Optimization参考文献 75被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、有限および無限の時間スケールをカバーする離散時間および連続時間の最適制御におけるターンパイク特性について包括的な概説を提供している。ターンパイク現象、ドロップアウト理論、安定性との関連を確立し、長時間スケール最適制御問題の効率的数値解法を、安定状態の近傍への収束によって可能にした。主な結果は、偏微分方程式（PDE）制約付き問題を含む数値例によって検証された。

ABSTRACT

The turnpike property refers to the phenomenon that in many optimal control problems, the solutions for different initial conditions and varying horizons approach a neighborhood of a specific steady state, then stay in this neighborhood for the major part of the time horizon, until they may finally depart. While early observations of the phenomenon can be traced back to works of Ramsey and von Neumann on problems in economics in 1928 and 1938, the turnpike property received continuous interest in economics since the 1960s and recent interest in systems and control. The present chapter provides an introductory overview of discrete-time and continuous-time results in finite and infinite-dimensions. We comment on dissipativity-based approaches and infinite-horizon results, which enable the exploitation of turnpike properties for the numerical solution of problems with long and infinite horizons. After drawing upon numerical examples, the chapter concludes with an outlook on time-varying, discounted, and open problems.

研究の動機と目的

• 離散時間および連続時間の設定において、最適制御におけるターンパイク特性を統合的に概説すること。
• 無限時間スケール最適制御問題におけるターンパイク現象とドロップアウトに基づく解析、安定性理論を結びつけること。
• 特にモデル予測制御（MPC）およびPDE制約付き問題において、ターンパイク特性の数値的解法戦略への有用性を示すこと。
• 時間変動型、割引付き、制約付き、ハイブリッド最適制御設定における未解決問題を特定すること。
• 最適性条件に基づくアプローチとドロップアウトに基づくアプローチの間のギャップを埋めること。

提案手法

• ドロップアウト理論を基盤として、最適制御問題におけるターンパイク行動を特徴づける。
• 無限時間スケール最適制御理論を適用し、離散時間および連続時間においてターンパイクとドロップアウト特性の等価性を確立する。
• PDE制約付き最適制御問題における適応的空間的・時間的メッシュ細分化に、目的指向誤差推定器を用いる。
• 半線形および不安定な系を含むPDEを用いた数値例を提示し、ターンパイクに基づく解法戦略の有効性を検証する。
• 再びホライズン制御フレームワークおよび一般目的関数を用いたMPCを用いて、時間変動型および周期的ターンパイクを分析する。
• 閉ループコストを低減するために、適応的有限要素法における標準的および目的指向誤差推定器を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間スケールが異なる離散時間および連続時間の最適制御問題において、ターンパイク特性はどのように現れるか？
• RQ2 無限時間スケール最適制御において、ドロップアウトとターンパイク行動の関係は何か？
• RQ3 ターンパイク特性を活用することで、長時間スケールまたはPDE制約付き最適制御問題の数値的効率性は向上するか？
• RQ4 時間変動型、割引付き、またはハイブリッド最適制御問題へのターンパイク理論の拡張における制限および未解決課題は何か？
• RQ5 最適性条件に基づくアプローチとドロップアウトに基づくアプローチは、どのように関連し合い、どの問題クラスにおいて適用性に差が生じるか？

主な発見

• ターンパイク特性は最適制御解において観察される：状態軌道は時間スケールの大部分において安定状態に近づき、その後終端付近で離れる。
• ドロップアウトに基づくアプローチにより、長時間および無限時間スケール最適制御問題の理論的数値解法が可能になる。
• 数値結果から、目的指向誤差推定器は、メッシュ点数が少ない状況でも標準的推定器と比較して閉ループコストを顕著に低減することが示された。
• PDE制約付き問題において、目的指向誤差推定器を用いた適応的空間的細分化は、MPCシミュレーションにおいてより低いコストと高い効率性をもたらした。
• 特に線形二次型問題において、離散時間および連続時間設定においてターンパイクとドロップアウト特性の等価性が厳密に確立された。
• 割引付き最適制御、時間変動型ターンパイク、ターンパイクにおける活性制約、混合整数またはハイブリッドダイナミクス、特に無限次元設定における未解決問題が残っている。