[論文レビュー] Tutorial on principal component analysis, with applications in R

Henk van Elst|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Spectroscopy and Chemometric Analyses被引用数 1

ひとこと要約

このチュートリアルでは、Rを用いたコード駆動型の主成分分析（PCA）の包括的で実践的な導入を提供し、女性の身長、体重、年齢の三変数データセットに対して、データの標準化、相関行列の固有値分解、次元削減を実行する。主な結果として、1つの主成分が全分散の57.94％を説明しており、元の3次元データが最大の分散を説明する1変数表現に削減され、変数間で完全な負の相関関係が生じている。

ABSTRACT

This tutorial reviews the main steps of the principal component analysis of a multivariate data set and its subsequent dimensional reduction on the grounds of identified dominant principal components. The underlying computations are demonstrated and performed by means of a script written in the statistical software package R.

研究の動機と目的

• Rプログラミング言語を用いた、主成分分析（PCA）について明確で再現可能なチュートリアルを提供すること。
• 成人女性の身長、体重、年齢の実世界の多変量データセットに対してPCAの実践的実装を示すこと。
• 標本相関行列の固有値分解が効果的な次元削減を可能にする仕組みを説明すること。
• 標準化および再構築されたデータを、元のスケールと変換されたスケールの両方で可視化・解釈できることを示すこと。
• 透明で実行可能なRコードと可視化を支援することで、研究者や学生がPCAを理解できるようにすること。

提案手法

• ハウエル（2001）の実データセット（n=187名の女性）を読み込み、フィルタリングして身長[cm]、体重[kg]、年齢[歳]の3つの尺度変数を抽出すること。
• 記述統計の実行と、3次元散布図および散布図行列を用いた可視化により、分布と2変量関係を評価すること。
• Rのscale()関数を用いてzスコアによるデータの標準化を行い、PCAにおける変数の等価な重み付けを確保すること。
• 標本相関行列の計算と固有値分解を実行し、主成分を特定すること。
• 説明される分散に基づいて主要な主成分を選択し、次元削減されたデータセットを構築すること。
• 逆標準化を用いて、次元削減されたデータを元の測定スケールに戻し、解釈と比較を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実際の多変量データセットに対して、Rを用いて主成分分析を段階的に実装する方法は何か？
• RQ2 身長、体重、年齢の三変数データセットにおいて、最初の主成分が全分散の何パーセントを説明するか？
• RQ3 PCAによる次元削減後、変数間の相関関係はどのように変化するか？
• RQ4 元のデータは、次元削減された成分空間からどの程度再構築可能か？
• RQ5 元のデータと次元削減されたデータの可視化は、構造と分布の観点からどのように比較できるか？

主な発見

• 最初の主成分は、元の三変数データセットにおける全分散の57.94％を説明している。
• 次元削減されたデータセットは、主成分が大部分の変動を占めるため、実質的に1変数的である。
• 次元削減された空間における元の変数間の対ごとの相関係数は、すべて正確に-1.000であり、完全な負の線形関係を示している。
• 元の単位（XapproxCor）で再構築されたデータは、元のデータ（X）に非常に近い近似値となっており、最小限の再構築誤差を示している。
• 標準スケールおよび元のスケールでの次元削減データの可視化は、次元削減にもかかわらず構造的パターンが保持されていることを示している。
• このチュートリアルは、データ読み込みから可視化および再構築に至るまで、完全に再現可能なRにおけるPCAワークフローを成功裏に示している。