[論文レビュー] Tutorials on Advanced Optimization Methods

Wei Wei|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 134被引用数 16

ひとこと要約

本チュートリアルでは、凸最適化、ロバスト最適化および分布ロバスト最適化、均衡問題、混合整数線形プログラミング（MILP）といった高度な最適化技術を、複雑で非凸的かつマルチエージェントな工学的問題を解くために紹介する。主な焦点は、半正定値計画（SDP）や混合整数計画（MILP）などのソルバー互換形式に困難な問題を再定式化することで、商業的またはオープンソースのソルバーを用いて信頼性の高い解を得ることに向けている。

ABSTRACT

This material provides thorough tutorials on some optimization techniques frequently used in various engineering disciplines, including convex optimization, linearization techniques and mixed-integer linear programming, robust optimization, and equilibrium/game problems. It discusses how to reformulate a difficult (non-convex, multi-agent, min-max) problem to a solver-compatible form (semidefinite program, mixed-integer linear program) via convexification, linearization, and decomposition, so the original problem can be reliably solved by commercial/open-source software. Fundamental algorithms are not the main focus. This material is a good reference for self-learners who have basic knowledge in linear algebra and linear programming. It is one of the main references for an optimization course taught at Tsinghua University.

研究の動機と目的

• 研究者および自己学習者を対象に、特にエネルギー系および工学的応用分野における最適化の包括的リファレンスを提供すること。
• 非凸的で複雑な最適化問題とソルバーの間のギャップを埋めるために、SDP、MILP、または円錐計画などの標準形式への再定式化を可能にすること。
• 相互依存するエネルギーインfra構造のモデリングにおける実践的問題解決を支援するため、体系的な定式化レシピを提供すること。
• 特に清華大学を含む大学院レベルの最適化コースの基盤リソースとして機能すること。
• 非凸な二次制約二次プログラム（QCQPs）、補完制約、均衡ゲームといった挑戦的な問題を、解ける形式に変換する実用的ツールを提供すること。

提案手法

• 半正定値計画（SDP）および完全正定値計画緩和に基づく凸緩和技術を用い、非凸的二次制約二次プログラム（QCQPs）を近似する。
• 非凸問題における解の品質と収束性を向上させるために、緩和の逐次的タイトニングを実施する。
• 非凸関数、双線形項、論理制約をモデル化するために、線形化および混合整数プログラミング（MILP）定式化を適用する。
• 非線形関数の区分線形近似のための定式化レシピ（単変数および2変数ケースを含む）を導入する。
• ワッサーシュタイン距離に基づく再定式化を用いた、静的・調整可能・分布ロバスト最適化モデルを適用する。
• ナッシュ均衡およびマルチリーダーフォロワー型ゲームをエネルギー市場でモデル化するために、変分不等式および補完制約に基づく定式化を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー系における非凸最適化問題は、どのように凸最適化または混合整数計画に再定式化され、信頼性の高い解が得られるか？
• RQ2 混合整数線形プログラミングを用いて、非線形項および双線形項を効果的に近似する技術は何か？
• RQ3 不確実性下で、ロバスト最適化および分布ロバスト最適化モデルをどのように計算的に扱える形に再定式化できるか？
• RQ4 補完制約および均衡定式化は、電力市場におけるマルチエージェント相互作用をモデル化する上で果たす役割は何か？
• RQ5 均衡制約付き均衡問題（EPEC）または均衡制約付き数学計画（MPEC）は、ブランチアンドカット法やホモトピー法を用いてどのように解けるか？

主な発見

• SDP緩和は、特定の条件下で最適性に関する理論的保証を伴い、非凸QCQPsに対してタイトでソルバー互換の再定式化を提供する。
• 緩和の逐次的タイトニングは、非凸問題における解の品質を顕著に向上させ、双対ギャップを低減する。
• 非凸二次計画問題のMILP近似は、区分線形化を用いることで高い精度を達成でき、特に多面体領域上では顕著である。
• ワッサーシュタイン距離に基づくロバスト最適化モデルは、データ駆動型で分布ロバストな定式化を計算的に扱える形に可能にする。
• 補完制約を含む均衡問題（MPEC）は、ブランチアンドカット法およびホモトピー法により解くことができ、特定の仮定の下で収束保証が得られる。
• 変分不等式および補完制約条件を用いたマルチリーダーフォロワー型ゲームやナッシュ均衡の定式化により、電力市場における戦略的行動のモデル化が可能になる。