[論文レビュー] TVID: Three-loop Vacuum Integrals from Dispersion relations

Stefan Bauberger, A. Freitas|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Particle Accelerators and Free-Electron Lasers参考文献 4被引用数 15

ひとこと要約

TVID は、分散関係を用いて任意の質量を持つ一般の三ループ真空フェ Feynman 積分を計算するための数値ソフトウェアパッケージである。Mathematica を用いて代数的に発散項と有限項を分離し、C 言語で 30 桁の精度で有限余剰積分を数値的に評価することで、複雑な質量構成に対しても高い精度と性能を達成する。

ABSTRACT

TVID is a program for the numerical evaluation of general three-loop vacuum integrals with arbitrary masses. It consists of two parts. An algebraic module, implemented in Mathematica, performs the separation of the divergent pieces of the master integrals and identifies special cases. The numerical module, implemented in C, carries out the numerical integration of the finite pieces. In this note, the structure of the program is explained and a few usage examples are given.

研究の動機と目的

• 任意の質量構成を持つ三ループ真空積分の数値評価を、堅牢かつ公開可能なツールとして提供すること。
• マスター積分の発散項と有限項を分離する分散関係に基づく手法を実装すること。
• 30 桁の浮動小数点演算を用いて有限余剰関数の高精度な数値評価を保証すること。
• 複数の質量スケールを含む三ループ自己エネルギーおよび真空図の計算に必要な量子場理論の応用を支援すること。
• 解析的解が得られない場合でも、特に完全に一般な質量構成に対して正確な積分計算を可能にすること。

提案手法

• 分散関係を用いて三ループ真空積分を発散項と有限余剰項に分解する。
• Mathematica における代数モジュールを用いて発散項を特定・分離し、マスター積分を有限余剰関数に写像する。
• 有限項の数値積分に、Quadpack から移植された C++ への実装である Gauss-Kronrod 積分ルーチン QAG を適用する。
• 30 桁の浮動小数点精度を達成するために、doubledouble C++ パッケージを用いる。
• 2段階のアーキテクチャを実装：Mathematica で記号的計算、C で高速な数値積分。
• 特別なケース処理および対称性削減を、$U_4$、$U_5$、$U_6$ のマスター積分に関して、専用の有限余剰関数を用いて実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的解が得られない場合、任意の質量を持つ三ループ真空積分をどのように数値的に評価できるか？
• RQ2 分散関係を用いて、三ループ真空振幅の発散項と有限項を効果的に分離する最良の方法は何か？
• RQ3 30 桁の精度で有限余剰関数を高精度かつ高速に数値評価することは、実用的な QFT 応用において可能か？
• RQ4 質量の種類が増加するに従って、この手法の性能はどのようにスケーリングするか？
• RQ5 1 スケールおよび 2 スケールのケースにおいて、既知の解析的ベンチマークと比較して、数値結果の精度はどの程度か？

主な発見

• TVID は、1 または 2 つの独立した質量スケールを持つ積分について、既存の解析的結果と少なくとも 10 桁の一致を達成している。
• 最大の質量スケール複雑性を持つ積分について、微分方程式による結果と比較しても、同程度の精度（少なくとも 10 桁）を示している。
• Intel Xeon コア 1 個で、$U_{4, m sub}$ は約 0.1 秒、$U_{5, m sub,0}$ は 0.01 秒未満、$U_{6, m sub}$ は 20～30 秒の評価時間を要する。
• doubledouble 算術パッケージを用いて、有限余剰関数 $U_{4, m sub}$、$U_{5, m sub,0}$、$U_{6, m sub}$ が 30 桁の精度で正しく計算されている。
• マスター積分の対称性、特に $U_4$、$U_5$、$U_6$ における置換および双対性を正しく処理している。
• ソフトウェアは公開されており、モジュラー構造を有しており、代数的および数値的モジュールが別々に実装されており、より大きな計算ワークフローへの統合が可能である。