[論文レビュー] Twenty-Five Moves Suffice for Rubik's Cube

Tomas Rokicki|ArXiv.org|Mar 24, 2008

Manufacturing Process and Optimization参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、対称性低減、最適化された集合解決アルゴリズム、および網羅的計算を組み合わせることで、3×3×3の魔方陣を25手以内に解けることを証明している。立方体の状態空間を20億以上に分け、Kociembaのアルゴリズムを並列変換とともに用いることで、25手を超える必要がある位置はすべて排除され、フェースターンメトリックにおける上界は26から25に低下した。

ABSTRACT

How many moves does it take to solve Rubik's Cube? Positions are known that require 20 moves, and it has already been shown that there are no positions that require 27 or more moves; this is a surprisingly large gap. This paper describes a program that is able to find solutions of length 20 or less at a rate of more than 16 million positions a second. We use this program, along with some new ideas and incremental improvements in other techniques, to show that there is no position that requires 26 moves.

研究の動機と目的

• フェースターンメトリックにおいて、任意の魔方陣の位置を解くために必要な手数の上界を26から25に低下させること。
• 数十億の立方体位置を一度に処理できる、最適化された高スループットの集合解決アルゴリズムを開発・適用すること。
• 対称性と群論的低減を活用して、完全性を保ちながら計算探索空間を最小限に抑えること。
• すべての関連する立方体状態集合についての境界を体系的に証明することで、どの位置も25手を超える必要がないことを示すこと。

提案手法

• 固定された中央のエッジを基準とする部分群Hを用いて、立方体の状態空間を約20億の集合に分割し、各集合に200億の位置を含ませた。
• Kociembaの2段階アルゴリズムの拡張版を用い、各位置の複数の対称的変換を同時に解くことで、解法の高速化を図った。
• アルゴリズムを「集合ソルバー」に変換し、個々の位置ではなく、一括して集合全体の距離の上界を計算するようにした。
• グラフ伝播を用いて重複および隣接集合を削除し、最大距離推定値を最も効果的に低減する集合を優先選択するグリーディ戦略を採用した。
• 集合ソルバーと単純なグリーディアルゴリズムをハイブリッドに組み合わせ、合計計算量を最小限に抑えつつ完全カバーを確保するように集合の選択と処理を最適化した。
• 本手法は、対称性低減に依存しており、立方体群のすべての位置が、集合系内の代表的位置からある上限手数以内に存在することを前提としている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の魔方陣の位置を解くために必要な手数の上界を26未満に低下させることは可能か？
• RQ2 高性能で集合ベースのアルゴリズムは、数十億の立方体位置の距離境界を同時に効率的に計算できるか？
• RQ3 対称性と群構造をどれほど活用すれば、God's Number問題の計算複雑性を低減できるか？
• RQ4 アルゴリズム最適化と並列計算を組み合わせることで、どの位置も25手を超える必要がないことを証明することは可能か？

主な発見

• 本論文は、3×3×3の魔方陣のすべての位置がフェースターンメトリックで25手以内に解けることを証明した。
• 著者らは3,868個の立方体位置集合を特定・解明し、そのうち3,226個の集合は距離上限が20以下、621個は19以下であった。
• 距離が18と証明された21個の集合と、距離上限が19または20の4つの追加集合を組み合わせることで、すべての位置が27手以内に収まることが示された。これは最終的な25手の上界に至るためのステップとして用いられた。
• 証明を再現するために必要な計算量は、現代のCPUと最適化されたソルバー設定を用いると約1,500 CPU時間と推定された。
• 著者らは、わずかなアルゴリズムの拡張（特に中央エッジを固定する制限を撤廃）により、数か月分のCPU計算で上界を24にさらに低下させられると考えている。
• 重複および隣接集合の削除により、探索空間が著しく削減され、計算効率が顕著に向上した。