[論文レビュー] Twisted Alexander polynomials and character varieties of 2-bridge knot groups

Taehee Kim, Takayuki Morifuji|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2-橋きずみに対して、非アーベル $SL(2,\mathbb{C})$-表現に関連するねじれアレクサンダー多項式がモニックであることは、ちょうどそのきずみがファイバードであることと同値であることを確立している。$SL(2,\mathbb{C})$-特徴多様体を用いて、非ファイバード2-橋きずみに対して、モニックな特徴をもつ点が有限個しか存在しない曲線成分が存在することを証明し、また、 genus $g$ のきずみに対して、一般に twisted Alexander 多項式の次数が $4g-2$ であることを示している。

ABSTRACT

We study the twisted Alexander polynomial from the viewpoint of the SL(2,C)-character variety of nonabelian representations of a knot group. It is known that if a knot is fibered, then the twisted Alexander polynomials associated with nonabelian SL(2,C)-representations are all monic. In this paper, we show that the converse holds for 2-bridge knots. Furthermore we show that for a 2-bridge knot there exists a curve component in the SL(2,C)-character variety such that if the knot is not fibered then there are only finitely many characters in the component for which the associated twisted Alexander polynomials are monic. We also show that for a 2-bridge knot of genus g, in the above curve component for all but finitely many characters the associated twisted Alexander polynomials have degree 4g-2.

研究の動機と目的

• 非アーベル $SL(2,\mathbb{C})$-表現に関連するねじれアレクサンダー多項式のモニック性が、2-橋きずみがファイバードであることと同値であるかどうかを特定すること。
• 2-橋きずみ群の $SL(2,\mathbb{C})$-特徴多様体の構造、特に曲線成分の存在と性質を分析すること。
• ねじれアレクサンダー多項式の次数が、2-橋きずみの genus $g$ を同定できるかを調査すること。
• 従来のねじれきずみに関する結果を、より広い2-橋きずみのクラスへと拡張し、モニックな特徴の有限性条件を提供すること。
• 曲線成分におけるモニックな特徴の有限性が、一般に非ファイバードきずみを特徴づけるものであるという予想を提示すること。

提案手法

• 2-橋きずみ群の $SL(2,\mathbb{C})$-特徴多様体を幾何的枠組みとして、表現を研究する。
• Rileyによる2-橋きずみの表現多項式を用いて、非アーベル表現をパラメトライズする。
• 表現多様体上のねじれアレクサンダー多項式を関数として分析し、特に先頭係数が1（モニック）である場合に注目する。
• 代数幾何学的手法を用いて、特徴多様体の既約成分、特に曲線成分を研究する。
• 2-橋きずみ $J(k,l)$ の族について、帰納法と次数解析を用い、特に $J(2m+1,q)$ および $J(k,2q)$ の場合を扱う。
• ドゥン・スージャリーおよび双曲幾何学の結果を適用し、特に双曲きずみの特徴多様体の標準成分を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての非アーベルねじれアレクサンダー多項式がモニックであることは、2-橋きずみがファイバードであることと同値か？
• RQ2 非ファイバード2-橋きずみに対して、$SL(2,\mathbb{C})$-特徴多様体の任意の曲線成分において、モニックな特徴の集合は有限か？
• RQ3 2-橋きずみの genus $g$ は、曲線成分内の一般な特徴に関連するねじれアレクサンダー多項式の次数から同定可能か？
• RQ4 ねじれきずみを含む2-橋きずみの族において、モニックな特徴の数の上界は何か？
• RQ5 曲線成分におけるモニックな特徴の有限性は、一般に非ファイバードきずみを特徴づける基準として拡張可能か？

主な発見

• 2-橋きずみに対して、すべての非アーベル $SL(2,\mathbb{C})$-表現に関連するねじれアレクサンダー多項式がモニックであることは、ちょうどそのきずみがファイバードであることと同値である（定理4.1）。
• 非ファイバード2-橋きずみに対して、非アーベル表現の $SL(2,\mathbb{C})$-特徴多様体に、モニックなねじれアレクサンダー多項式を与える特徴が有限個しか存在しない曲線成分が存在する（定理4.2）。
• 2-橋きずみの genus が $g$ のとき、特徴多様体の特定の曲線成分において、すべての特徴（有限個を除く）が次数 $4g-2$ のねじれアレクサンダー多項式を与える（定理4.3）。
• 正の $k$、負の $l$ を持つ2-橋きずみ $J(k,l)$ の族に対して、ねじれアレクサンダー多項式の上位係数の次数に基づいて、モニックな特徴の数の上界が導出された（定理5.1）。
• ねじれアレクサンダー多項式の上位係数の次数は、$k=2m+1$、$q>0$ の場合に $m-1$、$k=1$ の場合に $0$ であることが示され、$q<0$ の場合に対しても同様の式が導出された（補題5.14）。
• 双曲2-橋きずみの特徴多様体の標準成分には、モニックな特徴が有限個しか存在せず、これは非ファイバード双曲きずみに関するより広い予想を支持する（注意6.5）。