[論文レビュー] Twisted Brauer monoids

Igor Dolinka, James East|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

semigroups and automata theory参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、古典的ブラウアー代数的構造の変種である twisted Brauer 代数的構造 $\mathcal{B}_n^\tau$ を導入し、そのグリーン関係、イデアル構造、生成集合について分析する。主な結果として、主イデアルが冪等元によって生成可能であるための必要十分条件は、そのイデアルが欠損度 $n-2$ を持つ元によって生成されることであることを示し、各主イデアルのランクおよび冪等元ランクについて正確な式を導出。特に、イデアルが冪等元によって生成可能であるとき、ランクと冪等元ランクが一致することを示している。また、$n \geq 3$ のとき、ブラウアー代数の特異的部品 $\mathcal{B}_n \setminus \mathcal{S}_n$ が冪等元によって生成可能であることを確認し、Maltcev と Mazorchuk の結果を拡張する。

ABSTRACT

We investigate the structure of the twisted Brauer monoid $\mathcal B_n^τ$, comparing and contrasting it to the structure of the (untwisted) Brauer monoid $\mathcal B_n$. We characterise Green's relations and pre-orders on $\mathcal B_n^τ$, describe the lattice of ideals, and give necessary and sufficient conditions for an ideal to be idempotent-generated. We obtain formulae for the rank (smallest size of a generating set) and (where applicable) the idempotent rank (smallest size of an idempotent generating set) of each principal ideal; in particular, when an ideal is idempotent-generated, its rank and idempotent rank are equal. As an application of our results, we also describe the idempotent-generated subsemigroup of $\mathcal B_n^τ$ (which is not an ideal) as well as the singular ideal of $\mathcal B_n^τ$ (which is neither principal nor idempotent-generated), and we deduce a result of Maltcev and Mazorchuk that the singular part of the Brauer monoid $\mathcal B_n$ is idempotent-generated.

研究の動機と目的

• twisted Brauer 代数的構造 $\mathcal{B}_n^\tau$ の代数的構造を調査すること。これは、古典的ブラウアー代数的構造 $\mathcal{B}_n$ の変種である。
• グリーン関係および準順序を $\mathcal{B}_n^\tau$ 上で特徴づけ、正則元を同定すること。
• $\mathcal{B}_n^\tau$ のイデアル格子を分類し、イデアルが冪等元によって生成可能であるための必要十分条件を同定すること。
• $\mathcal{B}_n^\tau$ の各主イデアルのランクおよび冪等元ランクを計算し、冪等元によって生成される部分半群および特異的イデアルを分析すること。
• Maltcev と Mazorchuk によるブラウアー代数の特異的部品の冪等元生成に関する結果を拡張・確認すること。

提案手法

• $\mathcal{B}_n^\tau$ の要素は、$[n] \cup [n]'$ の集合分割として図式的に表現され、2要素ブロックに分割される。このとき、ねじれパラメータ $\tau$ が浮遊成分を符号化する。
• グリーン関係および準順序は、要素の欠損度とランクを用いて特徴づけられ、特に $r$ を分割のランクとして $d = n - r$ と表される欠損度 $d$ に注目する。
• イデアル格子は欠損度とランクによって分類され、欠損度 $d$ およびランク $r$ を持つ要素に対応する主イデアル $I_{d;r}$ が定義される。
• 生成集合は、冪等元の構造とねじれ乗法 $\alpha \star \beta = (\tau(\alpha,\beta), \alpha\beta)$ を用いて分析され、ここで $\tau$ は浮遊成分を追跡する。
• 主イデアルのランクおよび冪等元ランクは、最小生成集合の組み合わせ的数え上げにより計算され、$D_{n;1}$ および $I_{n-2;0}$ の生成集合からの主要な境界が導出される。
• 冪等元によって生成される部分半群は $\{1\} \cup I_{n-2;0}$ であることが示され、特異的イデアルは非主的かつ非冪等元生成的イデアルとして分析される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 twisted Brauer 代数的構造 $\mathcal{B}_n^\tau$ 上でのグリーン関係および準順序は何か。また、どの要素が正則であるか。
• RQ2 $\mathcal{B}_n^\tau$ のイデアル格子はどのように構造化されており、主イデアルはどのように特徴づけられるか。
• RQ3 $\mathcal{B}_n^\tau$ のイデアルが冪等元によって生成可能であるための条件は何か。また、そのようなイデアルのランクおよび冪等元ランクは何か。
• RQ4 $\mathcal{B}_n^\tau$ の冪等元によって生成される部分半群の構造は何か。また、特異的イデアルとはどのように関係するか。
• RQ5 古典的ブラウアー代数的構造 $\mathcal{B}_n \setminus \mathcal{S}_n$ の特異的部品は冪等元によって生成可能か。また、ねじれ代数的構造を用いてこの事実を示せるか。

主な発見

• $\mathcal{B}_n^\tau$ の主イデアル $I_{n-2;0}$ のランクは ${n \choose 2} + n!$ であり、これは冪等元によって生成可能であるため、その冪等元ランクも同値である。
• $\mathcal{B}_n^\tau$ のイデアル $I_{d;r}$ が冪等元によって生成可能であるための必要十分条件は $d = n - 2$ すなわち、欠損度 $n-2$ を持つ要素によって生成されるイデアルであることである。
• $\mathcal{B}_n^\tau$ の冪等元によって生成される部分半群は $\{1\} \cup I_{n-2;0}$ であり、$n \geq 3$ のとき、そのランクおよび冪等元ランクは両方とも ${n \choose 2} + 1$ に等しい。
• $n \geq 3$ のとき、ブラウアー代数の特異的部品 $\mathcal{B}_n \setminus \mathcal{S}_n$ は冪等元によって生成可能である。これはねじれ代数的構造を用い、$I_{n-2;0}$ に属する要素が $E^\tau(\mathcal{B}_n^\tau)$ の冪等元の積として表せることを示すことによって証明された。
• $\mathcal{B}_n^\tau$ の特異的イデアルは、主的でもなく、冪等元によって生成可能でもない。また、冪等元によって生成される部分半群よりも厳密に大きい。
• $n \geq 3$ のとき、イデアル $I_{n-2;0}$ は $D_{n-2;0}$ から来る ${n \choose 2}$ 個の要素と $D_{n;1}$ から来る $n!$ 個の要素によって生成される。また、任意の生成集合のサイズは ${n \choose 2} + n!$ よりも小さくはならない。