[論文レビュー] Twisted characteristic $p$ zeta functions

Bruno Anglès, Tuân Ngô Dac+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 42被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、適切な写像と複数変数を組み込むことで、Gossのゼータ関数とPellarinの$L$-級数を一般化した、正標数のグローバル関数体上のねじれた特徴的$p$ゼータ関数を導入する。主要な消去補題と$v$-進補間を用いて、これらの$L$-関数の収束性と代数的性質を証明し、Thakurの複数ゼータ値をねじれたおよび$v$-進設定に拡張する。

ABSTRACT

We propose a "twisted" variation of zeta functions introduced by David Goss in 1979.

研究の動機と目的

• 適切な写像を用いてGossの特徴的$p$ゼータ関数の『ねじれた』バージョンを導入することで、Gossの特徴的$p$ゼータ関数を一般化すること。
• 正標数における$L$-関数の理論を複数変数および複数の場所へ拡張すること。
• グローバル関数体上のねじれたゼータ関数の収束性と代数的性質を確立すること。
• 複数のねじれたゼータ関数に対する$v$-進補間を構築し、Thakurの複数ゼータ値を一般化すること。
• 正標数における$L$-関数の特殊値および$p$-進性の研究のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 有限指数の開部分群に含まれる$a$に対して、$\eta(Ia) = \eta(I)\langle a\rangle^{n(\eta)} \gamma^{v_\infty(a)}$を満たす、$I(A) \to K^\times_\infty$への適切な写像$\eta$を定義する。
• $s$個の埋め込み$\rho_i: K(\eta) \to C_\infty$と$n$個の連続写像$\sigma_j: K_\infty(\langle\eta\rangle) \to C_\infty$を用いて、ねじれたゼータ関数$\zeta_{\eta,A}(\rho; \sigma; u)$を構成する。
• 主要な技術的補題（補題3.2）を用いて、モニック多項式上の特定の和の消去を証明し、$C_\infty^\times \times \mathbb{Z}_p^n$上での収束を保証する。
• 入れ子になったイデアル$I_1 > I_2 > \cdots > I_r$または$I_1 \geq \cdots \geq I_r$に関する和を用いて、複数のねじれたゼータ関数を定義し、$\eta(I_j)^{n_j}$および$z_j^{\deg I_j}$を重みとして含める。
• $m_k \to n_1$が$p$-進的に成り立つとき、$Z_{\eta,A}((m_k,n_2,\dots,n_r);z)$の$P_v$-進極限として$Z_{v,\eta,A}(n;z)$を定義することにより、$v$-進補間を確立する。
• $Z_{v,\eta,A}(n;z)$と$Z^*_{v,\eta,A}(n;z)$が$C_v^r$上における整関数であることを証明し、Thakurの複数ゼータ値を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gossのゼータ関数は、適切な写像を用いてどのようにねじれたパrameterを含む形に一般化できるか？
• RQ2 これらのねじれた$L$-関数が複数変数において収束し、代数的性質を示すために満たすべき条件は何か？
• RQ3 正標数における複数のねじれたゼータ関数に対して、$v$-進補間はどのように達成できるか？
• RQ4 指数が負の整数に近づく際の、ねじれたゼータ関数の$P_v$-進極限は何か？
• RQ5 この枠組みは、Tate代数におけるThakurの複数ゼータ値およびその変形を回復または拡張できるか？

主な発見

• ねじれたゼータ関数$\zeta_{\eta,A}(\rho; \sigma; u)$は$C_\infty^\times \times \mathbb{Z}_p^n$上で収束し、本質的に代数的である：$y_i \in \mathbb{N}$に対して、$\zeta_{\eta,A}(\dots; (\prod \theta_i^{y_i}x, -y_1, \dots, -y_n)) \in F_q[t_1,\dots,t_s,\theta_1,\dots,\theta_n,x^{-1}]$である。
• $n(\eta) \in \mathbb{Z}$で$n_1 n(\eta) \leq 0$のとき、複数のねじれたゼータ関数$Z_{\eta,A}(n;z)$と$Z^*_{\eta,A}(n;z)$は$K(\eta_i(I), I \in I(A), i=1,\dots,r)[z_1,\dots,z_r]$に属する。
• $v$-進ねじれたゼータ関数$Z_{v,\eta,A}(n;z)$と$Z^*_{v,\eta,A}(n;z)$は$C_v^r$上における整関数であり、Thakurの複数ゼータ値を一般化する。
• $A = \mathbb{F}_q[\theta]$、$\pi = 1/\theta$、$\eta = [\cdot]$のとき、関数$Z_{v,\eta,A}(n;z)$はThakurの複数ゼータ値の$P_v$-進極限を回復する。
• $v$-進極限は$Z_{v,\eta,A}(n;z) = \lim_{k \to \infty} Z_{\eta,A}((m_k,n_2,\dots,n_r);z)$を満たし、Tate代数$T_z(K_v)$内で成り立つ。ここで$m_k \to n_1$は$p$-進的に成り立つ。
• $n_1,\dots,n_r \leq 0$のとき、$Z_{v,\eta,A}(n;z) \equiv Z_{\eta,A}(n;z) \mod P^{n_1}A[z_1,\dots,z_r]$が成り立ち、グローバル版と整合性を持つことが示される。