[論文レビュー] Twisted cohomology of the Hilbert schemes of points on surfaces

Marc Nieper-Wißkirchen|ArXiv.org|Aug 10, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、複素表面の点のヒルベルトスキームに対して、局所定数系を用いたねじれコホモロジー同型を確立し、グロイノフスキーとナカジマのフォック空間記述およびレーンのバーチャル・リーダルゲブラ作用をねじれの場合に一般化する。主な結果は、表面の数的に自明な正則束をもつ場合のカップ積構造の明示的記述であり、これにより一般化されたクラスマー多様体および特定のカラビ＝ヤウ多様体のコホモロジールーピングのモデルが、新しいクラスマー代数の構成によって得られる。

ABSTRACT

We calculate the cohomology spaces of the Hilbert schemes of points on surfaces with values in locally constant systems. For that purpose, we generalise I. Grojnoswki's and H. Nakajima's description of the ordinary cohomology in terms of a Fock space representation to the twisted case. We further generalise M. Lehn's work on the action of the Virasoro algebra to the twisted case. Building on work by M. Lehn and Ch. Sorger, we then give an explicit description of the cup-product in the twisted case whenever the surface has a numerically trivial canonical divisor. We formulate our results in a way that they apply to the projective and non-projective case in equal measure. As an application of our methods, we give explicit models for the cohomology rings of the generalised Kummer varieties and of a series of certain even dimensional Calabi--Yau manifolds.

研究の動機と目的

• 局所定数系を用いたねじれ係数の場合に、表面におけるコホモロジーのフォック空間およびリーダルゲブラ記述を拡張すること。
• レーンのリーダルゲブラ作用に関する結果を、ねじれの非射影的状況に一般化すること。
• 表面の数的に自明な正則束をもつ場合に、ヒルベルトスキームのコホモロジーにおけるカップ積構造の明示的記述を提供すること。
• ねじれコホモロジー枠組みを用いて、一般化されたクラスマー多様体および偶数次元カラビ＝ヤウ多様体のクラスのコホモロジールーピングの明示的モデルを構成すること。

提案手法

• ヒルベルトスキームの全ねじれコホモロジーに作用するねじれヘイゼンベルクリ代数 $\mathfrak{h}_{X,L}$ を定義し、中島の構成を一般化する。
• ねじれリーダルゲブラ $\mathfrak{v}_{X,L}$ を導入し、全コホモロジーへの作用を定義し、レーンの結果を非射影的状況に一般化する。
• 局所定数系の有限部分群によって誘導される $G$-被覆の Leray 譜を用いて、被覆のコホモロジーを計算する。
• 可換なフォビオウス代数 $H$ から $G$-重み付きヒルベルト代数 $H^{[n]}$ を構成し、[LS03] の構成を一般化する。
• Hopf余単位を用いて $n$-次クラスマー代数 $H^{[[n]]}$ を $H^{[n]} \otimes_H \mathbf{C}$ として定義し、一般化されたクラスマー多様体のコホモロジーをモデル化することを示す。
• アーベル多様体上の乗法 $n$-写像に関係するカルテジアン図式を用いて、一般化されたクラスマー多様体のコホモロジールーピングと $H^{[[n]]}$ 間の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面の点のヒルベルトスキームのコホモロジーは、局所定数系によるねじれを受ける場合にどのように記述できるか？
• RQ2 ねじれコホモロジー的枠組みにおけるリーダルゲブラ作用の構造は何か？ また、レーンのねじれなし結果はどのように一般化されるか？
• RQ3 ねじれコホモロジーにおけるカップ積構造が明示的に記述可能な条件は何か？
• RQ4 ねじれコホモロジーおよび代数的構成を用いて、一般化されたクラスマー多様体のコホモロジールーピングをどのようにモデル化できるか？
• RQ5 $G$-被覆が、ねじれコホモロジーの計算およびクラスマー代数との関係において果たす役割は何か？

主な発見

• 全ねじれコホモロジー $\bigoplus_{n\geq 0}H^*({X}^{[n]},{L}^{[n]}[2n])$ と対称代数 $S^*(\bigoplus_{\nu\geq 1}H^*(X,L^{\nu}[2]))$ 間に自然なベクトル空間同型が存在し、次数および重み付けを保存する。
• ねじれコホモロジーは、ねじれヘイゼンベルク代数 $\mathfrak{h}_{X,L}$ の最低重量表現を自然に持ち、中島の結果を一般化する。
• ねじれリーダルゲブラ $\mathfrak{v}_{X,L}$ は全ねじれコホモロジーに作用し、境界作用素との交換関係はねじれなしの場合と同一の関係を満たす。
• 表面 $X$ が数的に自明な正則束をもつ場合、$G$-重み付き次数付き代数としての自然な同型 $\bigoplus_{L\in G}H^*({X}^{[n]},{L}^{[n]}[2n]) \cong \left(\bigoplus_{L\in G}H^*(X,L[2])\right)^{[n]}$ が存在する。これは [LS03] を一般化する。
• 一般化されたクラスマー多様体 ${X}^{[[n]]}$ のコホモロジールーピングは、$H^{[n]} \otimes_H \mathbf{C}$ として構成された $n$-次クラスマー代数 $H^{[[n]]}$ と同型である。ここで $H = H^*(X,\mathbf{C}[2])$ である。
• この構成により、クラスマー代数の構成を用いて、一般化されたクラスマー多様体および偶数次元カラビ＝ヤウ多様体の系列のコホモロジールーピングの明示的モデルが得られる。