[論文レビュー] Twisted conjugacy classes in Symplectic groups, Mapping class groups and Braid groups(including an Appendix written with Francois Dahmani)

Alexander Fel’shtyn, Daciberg Lima Gonçalves|ArXiv.org|Aug 20, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック群 $Sp(2n,\mathbb{Z})$、コンパクトな曲面のマッピングクラス群、およびディスクと球面上のフルブレイド群に対して $R_\infty$ 性質を確立する。代数的および幾何的群論的手法——特に双曲空間への作用とねじれ共役類の解析——を用いて、任意の自己同型 $\phi$ に対して $\phi$-ねじれ共役類の数が無限大であることを証明し、これらの群が $R_\infty$ 性質を満たすことを確認する。

ABSTRACT

We prove that the symplectic group $Sp(2n,\mathbb Z)$ and the mapping class group $Mod_{S}$ of a compact surface $S$ satisfy the $R_{\infty}$ property. We also show that $B_n(S)$, the full braid group on $n$-strings of a surface $S$, satisfies the $R_{\infty}$ property in the cases where $S$ is either the compact disk $D$, or the sphere $S^2$. This means that for any automorphism $ϕ$ of $G$, where $G$ is one of the above groups, the number of twisted $ϕ$-conjugacy classes is infinite.

研究の動機と目的

• シンプレクティック群 $Sp(2n,\mathbb{Z})$、マッピングクラス群 $Mod_S$、ブレイド群 $B_n(S)$ が $R_\infty$ 性質を満たすかどうかを特定すること。
• すべての自己同型 $\phi$ に対して $R(\phi) = \infty$ を確認することにより、ねじれバーンサイド＝フロベニウス予想を検証可能な群のクラスを拡張すること。
• 特に双曲的作用と準等長写像不変性を用いた幾何的群論的手法を適用し、非双曲的設定においても $R_\infty$ 性質を証明すること。
• これまでこの文脈で未検証であった、ディスクおよび球面上のブレイド群の $R_\infty$ 性質を解決すること。

提案手法

• Torelli群 $I_n$ を含む短完全列 $1 \to I_n \to Mod_S \to Sp(2n,\mathbb{Z}) \to 1$ を用いて、$Mod_S$ の $R_\infty$ 性質を $Sp(2n,\mathbb{Z})$ のそれと関連付ける。
• Delzantの補題とGromov-双曲的空間への非初等的作用を応用し、自己同型のもとでコセットが無限個の共役類を含むことを示す。
• マッピングクラス群 $Mod_S$ が双曲的である曲線グラフ $\mathcal{G}(S)$ に非初等的に作用することを活用し、自己同型 $\phi$ に対して $R(\phi) = \infty$ を導出する。
• 方向を反転する自己同型のためのねじれ共役を分析するために、半直積構造 $Mod_S \rtimes \mathbb{Z}_2 \simeq Mod_S^*$ を用いる。
• 準等長写像不変性および幾何的群論の結果（例えば、Druţuの研究）を用いて、$R_\infty$ 性質を相対的に双曲的群へ拡張する。
• $3g + p - 4 > 0$ のとき、$Mod_S$ が無限個の通常の共役類を持つという事実を活用し、恒等自己同型の場合に $R(\phi) = \infty$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n \geq 1$ に対して、シンプレクティック群 $Sp(2n,\mathbb{Z})$ は $R_\infty$ 性質を満たすか？
• RQ2 genus $g$ で $p$ 個の境界成分をもつコンパクト曲面 $S$ のマッピングクラス群 $Mod_S$ は、$3g + p - 4 > 0$ のとき、すべての自己同型 $\phi$ に対して $R(\phi) = \infty$ を満たすか？
• RQ3 ディスクおよび球面上のフルブレイド群 $B_n(D)$ と $B_n(S^2)$ は $R_\infty$ 性質を満たすか？
• RQ4 特に双曲的作用とねじれ共役を用いた幾何的群論的手法は、非双曲的群に対しても $R_\infty$ を証明するために用いられるか？
• RQ5 Torelli群 $I_n$ は、$Sp(2n,\mathbb{Z})$ の $R_\infty$ 性質を $Mod_S$ へ持ち上げるために果たす役割は何か？

主な発見

• すべての $n \geq 1$ に対して、シンプレクティック群 $Sp(2n,\mathbb{Z})$ は $R_\infty$ 性質を満たし、任意の自己同型 $\phi$ に対して $R(\phi) = \infty$ である。
• 条件 $3g + p - 4 > 0$ を満たすコンパクト曲面 $S$ のマッピングクラス群 $Mod_S$ は $R_\infty$ 性質を満たす。トーラスに1つの境界成分がある場合も含む。
• すべての $n \geq 1$ に対して、ディスク上でのフルブレイド群 $B_n(D)$ および球面上での $B_n(S^2)$ は $R_\infty$ 性質を満たすが、少数の小さな例外を除く。
• $Mod_S$ が双曲的である曲線グラフ $\mathcal{G}(S)$ に非初等的に作用するため、任意の自己同型 $\phi$ に対して $R(\phi) = \infty$ が成り立つ。
• 半直積 $Mod_S \rtimes \mathbb{Z}_2$ を用いた $Mod_S^*$ の完全マッピングクラス群へも結果が拡張され、方向を反転する自己同型の作用においても $R_\infty$ 性質は保たれる。
• 一般の結果がカバーしない唯一のケースは、境界成分が1個以下であるトーラスおよび境界成分が4個以下である球面であり、これらは直接計算と $Out(Mod_S)$ の知識により解決されている。