[論文レビュー] Twisted connected sums and special Riemannian holonomy

Alexei Kovalev|ArXiv.org|Dec 19, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、漸近的に円筒型のカラビ–ヤウ3-foldのねじれ接続和を用いて、G₂ホロノミーを持つコンパクト7次元多様体の新規構成法を提示する。K3表面における円周因子と複素構造を交換する非自明な等長写像を用いて、このような多様体のペアを接合することで、Fano 3-foldのペアに応じて71から155のベッチ数をとる、新しいトポロジー型のコンパクトG₂多様体が得られる。

ABSTRACT

We give a new, connected-sum-like construction of Riemannian metrics with special holonomy G_2 on compact 7-manifolds. The construction is based on a gluing theorem for appropriate elliptic partial differential equations. As a prerequisite, we also obtain asymptotically cylindrical Riemannian manifolds with holonomy SU(3) building up on the work of Tian and Yau. Examples of new topological types of compact 7-manifolds with holonomy G_2 are constructed using Fano 3-folds.

研究の動機と目的

• 既知のジョイスの解体に基づく例とは異なる、G₂ホロノミーを持つ新しいコンパクト7次元多様体の構成。
• SU(3)ホロノミーを持つ漸近的に円筒型のリーマン多様体に対する、接続和に類似た接合法の開発。
• 基本群の位相的有限性に依拠して、結果として得られるコンパクト7次元多様体が正確にG₂ホロノミーを持つための条件の確立。
• Fano 3-foldを構成要素として用いることで、G₂多様体の新しいトポロジー型の存在を示すこと。
• 漸近的に円筒型の多様体上の楕円型偏微分方程式の接合定理を用いて、 torsion-free G₂構造を一般化する枠組みの提供。

提案手法

• Fano 3-foldとK3表面から、Tian–Yauのリッチ平坦ケーラー計量の存在定理を用いて、漸近的に円筒型のカラビ–ヤウ3-fold（SU(3)ホロノミー）を構成する。
• 各々の6次元多様体と円周のリーマン積をとることで、半円筒型の端を持つ7次元多様体（ホロノミーSU(3)）を構成する。
• 2つのこのような7次元多様体の端を、2つのS¹因子とK3断面における複素構造を交換するねじれ等長写像を用いて境界を同一視する。
• 楕円型偏微分方程式の接合定理を用いて、torsion-free G₂構造を定義する非線形系を解き、結果として得られる計量が正確にG₂ホロノミーを持つことを保証する。
• Banach空間の技法を用い、適切に選ばれた関数空間を用いて接合が妨げられず、明確に定義された近似解から解の存在を保証する。
• 変形理論とTorelli型定理を適用して、K3表面間の等長写像が首の部分でG₂構造を保存することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G₂ホロノミーを持つコンパクト7次元多様体は、SU(3)ホロノミーを持つ非コンパクト多様体の接続和に類似した操作によって構成可能か？
• RQ2 2つの漸近的に円筒型のSU(3)-多様体のねじれ接続和が、正確にG₂ホロノミーを持つ多様体をもたらすために必要な位相的および幾何的条件は何か？
• RQ3 Fano 3-foldとK3表面から、漸近的に円筒型のカラビ–ヤウ3-foldを体系的に構成する方法は何か？
• RQ4 得られるG₂多様体におけるベッチ数の範囲は何か？また、Fano 3-foldの選択にどのように依存するか？
• RQ5 適切な関数解析的枠組みを用いることで、G₂構造の接合プロセスを妨げられなくできるか？

主な発見

• この構成法により、ジョイスの例とは異なる新しいトポロジー型のコンパクト7次元多様体（G₂ホロノミー）が得られる。
• ねじれ接続和構成法により、71 ≤ b₃(M) ≤ 155 を満たすG₂多様体が得られ、使用されたFano 3-foldペアに依存する。
• 上界b₃ = 155は、CP³に基づくFano 3-fold同士の接合で達成され、下界b₃ = 71は、生成数12（X₂₂）の素性Fano 3-fold同士の接合で生じる。
• 微分形式のBanach空間の適切な選択のおかげで、接合が妨げられず、明確に定義された近似解からG₂構造の偏微分方程式系の解の存在が保証される。
• 任意の滑らかなFano 3-foldの代数的族のペアに対して、定理6.44はねじれ接続和構成の初期設定の存在を保証する。
• この方法は、X₂₂の場合に[12]の定理7を再現し、従来の構成と整合性を保つことを確認する。