[論文レビュー] Twisted equivariant K- Theory and K-Homology of Sl3(Z)

Noé Bárcenas, Mario Velásquez|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、SL₃(ℤ) に対するねじれた等長的K理論およびKホモロジーを、ねじれた表現を係数とするBredonコホモロジーに還元するスペクトル系列を用いて計算する。これは、係数付き Baum-Connes予想の文脈において、ねじれた等長的K理論におけるPoincaré双対性の形式を検証するものであり、SL₃(ℤ) のKホモロジー群（ねじれたC*-代数 𝒦ᵤ₁ に係数をとる）は、偶数次元では ℤ^⊕13 であり、奇数次元では自明であることを示している。

ABSTRACT

Replaces Previous version. Includes comments on poincare duality for twisted equivariant in the context of proper and discrete actions and the Baum-Connes Conjecture. We use a spectral sequence proposed by C. Dwyer and previous work by Sanchez-Garcia and Soule to compute Twisted Equivariant K-theory groups of the classifying space for proper actions of Sl3(Z). After proving a Universal coefficient theorem in Bredon Cohomology with specific coefficients, we compute the twisted equivariant K-homology and state a relation to the Baum-Connes Conjecture with coefficients.

研究の動機と目的

• 離散群の適切な作用に対するねじれた等長的K理論およびKホモロジー群を計算すること、特に SL₃(ℤ) に焦点を当てる。
• ねじれた表現を係数とするBredonコホモロジーに還元するスペクトル系列を適用して、ねじれた等長的K理論の計算を簡略化すること。
• 係数付き Baum-Connes予想が予言するように、SL₃(ℤ) におけるねじれた等長的K理論におけるPoincaré双対性の形式を検証すること。
• 特定のコホモロジー的条件下で、SL₃(ℤ) におけるねじれた等長的K理論とKホモロジー群の双対性同型を確立すること。

提案手法

• BEUV13 からのスペクトル系列を用いて、ねじれた等長的K理論とねじれた表現を係数とするBredonコホモロジーとの関係を確立する。
• Bredonコホモロジーの普遍係数定理を適用して、クラスファイイング空間 ℓE SL₃(ℤ) のホモロジー群とコホモロジー群との関係を導出する。
• 有限群の射影表現の理論を用いて、特定のねじれターニング u₁ に関連するBredonコホモロジー群を計算する。
• ℓE SL₃(ℤ) のSL₃(ℤ)-CW複体構造における安定化子の構造とインシデント関係を用いて、コチェーン複体内の準同型を計算する。
• Bredonコチェーン複体における制限写像を表す行列の基本因子とランクを分析して、コホモロジー群を特定する。
• 高次のコホモロジーが消えることによるスペクトル系列のE₂頁での収束を活用し、計算を低次のBredonコホモロジーに簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたねじれの下で、ねじれた等長的K理論とねじれた表現を係数とするBredonコホモロジーを結ぶスペクトル系列は、SL₃(ℤ) で収束するか？
• RQ2 離散的ねじれターニングに対して、SL₃(ℤ) のねじれた等長的KホモロジーはBredonコホモロジーを用いて計算可能か？
• RQ3 係数付き Baum-Connes予想が予言するように、SL₃(ℤ) におけるねじれた等長的K理論とKホモロジー群の間に双対性同型が成立するか？
• RQ4 SL₃(ℤ) におけるねじれた係数をもつBredonコホモロジー群は、度数 0 と 1 に集中しているか？ これにより双対性結果が得られるか？
• RQ5 ねじれたC*-代数 𝒦ᵤ₁ に係数をとるSL₃(ℤ) のねじれた等長的Kホモロジー群の正確な構造は何か？

主な発見

• ねじれた表現系 𝒫ᵤ₁ を係数とするBredonコホモロジー群は、正の次数で消え、次数 0 では ℤ^⊕13 に同型である。
• 高次のBredonコホモロジー群が消えることにより、ねじれた等長的K理論を計算するスペクトル系列はE₂頁で収束する。
• ℓE SL₃(ℤ) のねじれた等長的K理論群は、次数 0 で ℤ^⊕13 に同型であり、次数 1 では自明である。
• SL₃(ℤ) のねじれた等長的Kホモロジー群（係数として 𝒦ᵤ₁ をとる）は、奇数次元では自明であり、偶数次元では ℤ^⊕13 に同型である。
• K理論群とKホモロジー群の間の双対性同型が確立され、係数付き Baum-Connes予想の文脈におけるPoincaré双対性の形式が確認された。
• 計算により、指定されたねじれターニングの下で、普遍係数定理および双対性の条件がSL₃(ℤ) で成立することが確認された。