[論文レビュー] Twisted equivariant K-theory for proper actions of discrete groups

Christopher Dwyer|ArXiv.org|Oct 10, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、離散群の固有作用に対するねじれた等長的K理論を、射影表現と群コホモロジーを用いて構築する。AdemとRuanの有限群フレームワークをLückとOliverの手法を用いて拡張する。主な貢献は、複素数体にテンソル積をとった後、$E_2$ページで収束するスペクトル系列の確立であり、非ねじれたAtiyah-Hirzebruchスペクトル系列と自然な関係を確立し、ねじれの torsion なねじれに対する計算的ツールを提供する。

ABSTRACT

We give a construction for twisted equivariant K-theory in the case of a proper action of a discrete group using twisted bundles. Our construction uses results of Lueck and Oliver to extend a construction of Adem and Ruan. We also show the existence of a Chern character to twisted Bredon cohomology. This gives a partial answer to the question of when you can construct twisted equivariant K-theory out of finite rank twisted bundles.

研究の動機と目的

• 有限群に限らない一般の離散群の固有作用へのねじれた等長的K理論の拡張を図ること。
• LückとOliverの手法を用いて、AdemとRuanの有限群に対する構成を一般化すること。
• ねじれたBredonコホモロジーとねじれた等長的K理論を結ぶスペクトル系列を確立すること。
• $\mathbb{C}$にテンソル積をとった後、そのスペクトル系列が$E_2$で収束することを示し、非ねじれたAtiyah-Hirzebruchスペクトル系列と関連付けること。
• 軌道多様体および群胚$C^*$-代数の文脈におけるtorsionなねじれに対する計算枠組みを提供すること。

提案手法

• $\alpha$-ねじれ表現を用いてねじれたK理論をモデル化し、ここで$\alpha$は$Z^2(G, \mathbb{C}^*)$に属する2次コサイクルである。
• $\alpha$-ねじれ表現群$R_\alpha(G)$を、$\alpha$-ねじれ表現のGrothendieck群として構成する。
• AdemとRuanの構成におけるものと類似した係数関手へのねじれた積を導入する。
• $\alpha$-ねじれ表現群値のねじれたBredonコホモロジーを定義し、$\mathbb{Q}$にテンソル積をとった後、Mackey関手構造を確立する。
• Lückの結果を適用し、ねじれたBredonコホモロジーからねじれた等長的K理論へのスペクトル系列が、$\mathbb{C}$にテンソル積をとった後、$E_2$ページで収束することを示す。
• $\mathbb{Q}$-テンソル後の$E_2$ページと$E_\infty$ページを、等長的チャーン写像を用いて同定し、収束を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれた等長的K理論は、有限群から一般の離散群の固有作用へ拡張可能か？
• RQ2 ねじれたBredonコホモロジーとねじれた等長的K理論を結ぶスペクトル系列はどのように振る舞い、収束するか？
• RQ3 ねじれたスペクトル系列と非ねじれたAtiyah-Hirzebruchスペクトル系列の関係は何か？
• RQ4 群コホモロジーから生じるtorsionなねじれは、有限ランクのねじれバンドルとして実現可能か？
• RQ5 この構成は、軌道多様体および作用素代数的枠組みにおけるねじれたK理論の広範な枠組みとどのように関係するか？

主な発見

• ねじれたBredonコホモロジーからねじれた等長的K理論へのスペクトル系列は、$\mathbb{C}$にテンソル積をとった後、$E_2$ページで収束する。
• $\mathbb{C}$-テンソル後のスペクトル系列の$E_2$ページは、等長的チャーン写像がこの文脈で同型であるため、$E_\infty$ページと同型である。
• スペクトル系列は、自然な方法で非ねじれた等長的Atiyah-Hirzebruchスペクトル系列の加群として作用する。
• 任意のtorsionなねじれ$[\alpha] \in H^3(X \times_G EG; \mathbb{Z})$が$p^* \circ \delta$の像にある場合、そのような有限ランク$\alpha$-ねじれバンドルを構成できる。
• この枠組みにおけるチャーン写像は、TuとXuの作用素代数的アプローチとは別個の方法で、ねじれK理論群の計算に使える。
• 本結果は、[22]における予想、すなわちtorsionなねじれは有限ランクのねじれバンドルを許容する可能性がある、という仮説を支持し、部分的な肯定的解答を提供する。