[論文レビュー] Twisted Gauge Fields

Jordan François|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、標準的な群表現ではなく、群作用コサイクルを用いて構成されるねじれ付き関連バンドルに基づく一般化されたゲージ理論の枠組みを導入する。ねじれ付き接続と共変微分を定義し、ヤン・ミルズ理論やカルタン幾何を一般化する。また、量子場理論における共形トレイクター、トゥイスター、および異常が、この形式主義内で自然に現れることを示し、既知の物理理論の背後にあるより深い幾何的構造を明らかにする。

ABSTRACT

We propose a generalisation of the notion of associated bundles to a principal bundle constructed via group action cocycles rather than via mere representations of the structure group. We devise a notion of connection generalising Ehresmann connection on principal bundles, giving rise to the appropriate covariant derivative on sections of these twisted associated bundles (and on twisted tensorial forms). We study the action of the group of vertical automorphisms on the objects introduced (active gauge transformations). We also provide the gluing properties of the local representatives (passive gauge transformations). The latter are generalised gauge fields: They satisfy the gauge principle of physics, but are of a different geometric nature than standard Yang-Mills fields. We also examine the conditions under which this new geometry coexists and mixes with the standard one. We show that (standard) conformal tractors and Penrose's twistors can be seen as simple instances of this general picture. We also indicate that the twisted geometry arises naturally in the definition and study of anomalies in quantum gauge field theory.

研究の動機と目的

• 群表現を超えた標準的な群表現を用いずに、群作用コサイクルを用いて関連バンドルの概念を一般化すること。
• Ehresmann接続を一般化する新しい接続クラス—ねじれ付き接続—を定義し、ねじれ付きバンドル上の共変微分を導出すること。
• 共形トレイクターおよびペンローズ・トゥイスターといった既知の構造の幾何的記述を、一つの枠組みで統一すること。
• ねじれ付き幾何と標準ゲージ理論の間の相互作用を、特に標準的およびねじれ付き両方の場を含む混合設定において探ること。
• この形式主義が、量子ゲージ場理論における異常、および超幾何や量子化への潜在的拡張との関連において、どのように関連しているかを確立すること。

提案手法

• 構造群が H である主バンドル P とコサイクル C: H × H → G を用いて、G-バンドル Q = P ×C(H) G としてねじれ付き関連ベクトルバンドルを構成する。
• コサイクルに整合する水平部分空間の分布として、P 上のねじれ付き接続を定義し、Ehresmann接続を一般化する。
• ねじれ付きバンドルの切断上の共変微分を導出し、ねじれ付き接続形式を用いてその曲率を計算する。
• ねじれ付きバンドル上での垂直自己同型の作用としてのアクティブなゲージ変換と、局所的貼り合わせ規則によるパasive変換を導入する。
• 標準的およびねじれ付きバンドルを組み合わせた混合幾何を構築し、混合接続および曲率を、整合性のある構造を介して定義する。これにより、両方の構造が共存可能となる。
• 形式主義を既知の幾何的対象に適用する。共形トレイクターおよび局所的トゥイスターが、ねじれ付きゲージ場の特別な例であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な関連バンドルの構成を、群表現を超えて群作用コサイクルを含む形にどのように一般化できるか。
• RQ2 このねじれ付き設定における接続および共変微分の幾何的構造は何か。また、ヤン・ミルズ接続およびカルタン接続をどのように一般化するか。
• RQ3 共形トレイクターおよびペンローズ・トゥイスターが、このねじれ付きゲージ理論の特別な例としてどのように現れるか。
• RQ4 ねじれ付きおよび標準ゲージ場が、統一された幾何的枠組みの中でどのように共存し、相互作用するか。
• RQ5 このねじれ付き幾何が、特にウェス＝ツミノ項と関連して、量子場理論における異常という文脈で果たす役割は何か。

主な発見

• 共形トレイクターおよびペンローズ・トゥイスターが、ねじれ付きゲージ場の自然な例であることが示され、統一的な幾何的解釈が得られた。
• 標準的な関連バンドル Q = P ×H G は、ねじれ付きバンドル P ×C(H) V と同型であるが、ねじれ付き構成はコサイクルのより基本的な幾何的役割を明らかにする。
• ねじれ付き接続は、ねじれ付きテンソリアル形式上に共変微分を誘導し、物質場のゲージ相互作用への最小結合を一般化する。
• 標準的およびねじれ付き場を組み合わせた混合ゲージ理論は、混合接続および曲率が適合性のある構造を介して定義されることにより、一貫して定式化可能である。
• この形式主義は、特にウェス＝ツミノ項がねじれ付き線バンドルの切断として自然に現れ、適切な共変微分を実行するにはねじれ付き接続が必要であるため、量子場理論における異常を自然に扱える。
• BRST形式主義はねじれ付きゲージ理論へ拡張可能であり、パス積分および正準量子化法が依然として適用可能であることが示唆されるが、新たなコhomological構造が出現する可能性がある。