[論文レビュー] Twisted GL_n Loop Group Orbit and Solutions of the WDVV Equations

Johan van de Leur|ArXiv.org|Apr 12, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ねじれた $GL_n$ ループ群の軌道に由来するすべてのtau関数が、変形された平坦座標および前位関数を介して、WDVV方程式の解を生成することを示している。さらに、Grassmannian幾何学と $n$-成分KPハイアーチェブを用いて、非斉次な WDVV 前位関数を含む明示的解が構成され、従来の斉次解に拡張されている。

ABSTRACT

We show that all (n-component) KP tau-functions, which are related to the twisted loop group of $GL_n$, give solutions of the Darboux-Egoroff system of PDE's. Using the Geometry of the Grassmannian we construct from the corresponding wave function the deformed flat coordinates of the Egoroff metric and from this the corresponding solution of the Witten-Dijkgraaf-E. Verlinde-H. Verlinde equations.

研究の動機と目的

• ねじれた $GL_n$ ループ群の軌道を用いて、Darboux-Egoroff 系の表現論的構成を確立すること。
• 非斉次前位関数を含む形で、従来の WDVV 方程式の斉次解に関する結果を一般化すること。
• n-成分KPハイアーチェブの波動関数およびtau関数から、変形された平坦座標および WDVV 前位関数 $F(t)$ を導出すること。
• Grassmannianモデルと留数計算を用いた幾何学的・代数的枠組みを提供し、WDVV 方程式の解を構成すること。

提案手法

• ねじれた $GL_n$ ループ群の軌道に由来する $n$-成分KPハイアーチェブおよびその関連するtau関数を用いる。
• 生成関数 $\Phi(x,z)$ と群元 $g(z)$ の留数を用いて波動関数 $\Psi(x,z)$ を構成し、$\Psi(x,z)\Psi(x,-z)^T = -z^{-2}I_n$ を満たす。
• 波動関数 $\Psi(x,z)$ の留数から回転係数 $\gamma_{ij}$ を導出し、Darboux-Egoroff 系を満たす：$\partial_k \gamma_{ij} = \gamma_{ik}\gamma_{kj}$ および $\sum_k \partial_k \gamma_{ij} = 0$。
• Lamé係数 $h_i = \psi_{i1}$ と計量成分 $\eta_{\alpha\beta} = \delta_{\alpha\beta}$ を定義し、Egoroff計量が平坦であることを保証する。
• 関数 $\Theta(x,z)$ から変形された平坦座標 $\theta_j(x,z)$ を構成し、$\theta_j(x,z) = \delta_{j1} + t^j z + \sum_{k=2}^\infty \theta_j^{(k)} z^k$ を満たし、$k \geq 0$ に対して $\text{Res}_z z^k \Theta(x,z) = 0$ を満たす。
• 前位関数 $F(x)$ を $F(x) = -\frac{1}{2}\theta_1^{(3)}(x) + \frac{1}{2}\sum_i t^i(x) \theta_i^{(2)}(x)$ として導出し、$\partial^2 F / \partial t^k \partial t^\ell = c_{k\ell m}$ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $GL_n$ ねじれたループ群の軌道に由来するtau関数が、PDEのDarboux-Egoroff系の解を生成できるか？
• RQ2 n-成分KPハイアーチェブにおける波動関数から、変形された平坦座標およびWDVV前位関数をどのように構成できるか？
• RQ3 Grassmannianは、WDVV方程式の解の幾何的構造を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 非斉次な WDVV 前位関数は、ねじれた $GL_n$ ループ群の軌道からどのように生じるか？
• RQ5 $GL_n$ ループ群、KPハイアーチェブ、および WDVV 方程式の間の正確な代数的・幾何的関係は何か？

主な発見

• すべての $GL_n$ ねじれたループ群の軌道に由来するtau関数は、Darboux-Egoroff 系のPDEの解を与える。
• 波動関数から導かれた回転係数 $\gamma_{ij}$ は、$\partial_k \gamma_{ij} = \gamma_{ik}\gamma_{kj}$ および $\sum_k \partial_k \gamma_{ij} = 0$ を満たし、Darboux-Egoroff 系が正当化される。
• Lamé係数 $h_i = \psi_{i1}$ は、$i \neq j$ のとき $\partial_j h_i = \gamma_{ij} h_j$ を満たし、$\partial_i h_i = -\sum_{j \neq i} \gamma_{ij} h_j$ を満たす。これはEgoroff計量と整合的である。
• 変形された平坦座標 $\theta_j(x,z)$ は、$k \geq 0$ に対して $\text{Res}_z z^k \Theta(x,z) = 0$ を満たすように構成されており、計量の平坦性が保証される。
• WDVV前位関数は $F(x) = -\frac{1}{2}\theta_1^{(3)}(x) + \frac{1}{2}\sum_i t^i(x) \theta_i^{(2)}(x)$ で与えられ、$\partial^2 F / \partial t^k \partial t^\ell = c_{k\ell m}$ を満たし、WDVV方程式を満たす。
• 本構成により、非斉次な WDVV 前位関数が得られ、従来の斉次解に制限された結果の一般化が達成される。