[論文レビュー] Twisted indices, Bethe ideals and 3d $\mathcal{N}=2$ infrared dualities

Cyril Closset, Osama Khlaif|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Gröbner基底とBethe理想を用いた計算フレームワークを構築し、ユニタリゲージ群を有する3次元 $υ=2$ 超対称ゲージ理論のねじれ指数を計算する。この手法を用いて、Givit-KutasovおよびAharony双対性の一般化である赤外双対性を検証し、双対理論のねじれ指数を明示的に一致させ、必要なフレーバー Chern-Simons 接続項を特定し、$l\neq0$ の場合のWitten指数を計算する。

ABSTRACT

We study the topologically twisted index of 3d $\mathcal{N}=2$ supersymmetric gauge theories with unitary gauge groups. We implement a Gröbner basis algorithm for computing the $Σ_g imes S^1$ index explicitly and exactly in terms of the associated Bethe ideal, which is defined as the algebraic ideal associated with the Bethe equations of the corresponding 3d $A$-model. We then revisit recently discovered infrared dualities for unitary SQCD with gauge group $U(N_c)_{k, k +l N_c}$ with $l eq 0$, namely the Nii duality that generalises the Giveon-Kutasov duality, the Amariti-Rota duality that generalises the Aharony duality, and their further generalisations in the case of arbitrary numbers of fundamental and antifundamental chiral multiplets. In particular, we determine all the flavour Chern-Simons contact terms needed to make these dualities work. This allows us to check that the twisted indices of dual theories match exactly. We also initiate the study of the Witten index of unitary SQCD with $l eq 0$.

研究の動機と目的

• 3次元 $υ=2$ ユニタリゲージ理論のねじれ指数を正確な代数的手法で計算すること。
• 双対性の一致を確認するため、$U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCDの双対ペア間でのねじれ指数を一致させること。
• 特に $l \neq 0$ の場合に双対性が成立するための必要なフレーバー Chern-Simons 接続項を特定すること。
• $k \neq 0$ および $n_f = n_a$ の場合の $U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCDにおけるWitten指数の研究を開始すること。

提案手法

• ねじれ指数は、3次元 $A$-モデルにおけるハンドル接続作用素を用いてBethe真空上のトレースとして計算される。
• Bethe方程式は代数的イデアル（Betheイデアル）として扱われ、正確な評価を可能にするためにGröbner基底が計算される。
• Gröbナ基底に同伴行列法を適用し、行列の累乗のトレースとして指数を計算する。
• 任意のフォンダメントルおよびアンチフォンダメントルチラル多重項の数を有する $U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCDにこの手法を適用する。
• パリティ異常キャンセレーションから得られるフレーバー Chern-Simons 接続項が、双対性下での指数一致を保証するために用いられる。
• 実質量摂動を用いて、既知の双対性から、チャーミカルおよび最小チャーミカルな場合へと流れを記述し、場の電荷割り当ては場の表を用いて追跡される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 $υ=2$ ユニタリSQCDのねじれ指数を代数的幾何学的手法を用いて正確に計算するにはどうすればよいか？
• RQ2 $l \neq 0$ の場合に赤外双対性が成立するためのフレーバー Chern-Simons 接続項は何か？
• RQ3 一般の $l$ に対して、双対な $U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCD理論のねじれ指数はどのように一致するか？
• RQ4 $k \neq 0$ および $n_f = n_a$ の場合の $U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCDにおけるWitten指数の構造は何か？
• RQ5 実質量摂動は、Aharony双対性フレームワークから最小および最大チャーミカル双対性へとどのように導くか？

主な発見

• Gröbner基底技術をBetheイデアルに適用することで、$U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCDのねじれ指数を正確に計算した。
• 適切なフレーバー Chern-Simons 接続項を含めることで、双対理論のねじれ指数が正確に一致することが確認された。
• 本稿では、$l \neq 0$ を含むNii双対性（一般化されたGiveon-Kutasov）およびAmariti-Rota双対性（一般化されたAharony）に必要な全接触項のセットを特定した。
• $n_f = n_a$ および $k \neq 0$ の場合、Witten指数を計算し、Bethe真空の数と整合的であることが示された。
• 実質量摂動を用いて、$k_c > 0$ および $k_c < 0$ の場合の表を用いて、明示的な場の電荷割り当てとともに、最小および最大チャーミカル双対性が導出された。
• 本手法により、既知の双対性が非ゼロ $l$ へと一般化され、すべてのテストケースで指数の一致が確認された。