[論文レビュー] Twisted Internal coHom Objects in the Category of Quantum Spaces

Sergio Grillo, H. Montani|ArXiv.org|Dec 20, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、標準的テンソル積の代わりにねじれ写像 τ によって制御されるねじれた積を用いることで、量子線形空間の圏における内部 coHom 対象を導入する。これは Manin の内部 coHom 構成を一般化したものであり、主な結果として、特定の条件下でねじれた coEnd 2-ホモロジー代数が標準的 coEnd 2-ホモロジー代数の 2-コサイクルねじれであることを示しており、GL_q(n) とその多パrametric版 GL_{q,φ}(n) 間のねじれ同値性を一般化する。

ABSTRACT

Adapting the idea of twisted tensor products to the category of finitely generated algebras, we define on its opposite, the category QLS of quantum linear spaces, a family of objects hom(B,A)^{op}, one for each pair A^{op},B^{op} there, with analogous properties to its internal Hom ones, but representing spaces of transformations whose coordinate rings hom(B,A) and the ones of their respective domains B^{op} do not commute among themselves. The mentioned non commutativity is controlled by a collection of twisting maps τ_{A,B}. We show that the (bi)algebras end(A)=hom(A,A), under certain circumstances, are 2-cocycle twistings of the quantum semigroups end(A) in the untwisted case. This fact generalizes the twist equivalence (at a semigroup level) between, for instance, the quantum groups GL_{q}(n) and their multiparametric versions GL_{q,ϕ}(n).

研究の動機と目的

• 標準的テンソル積の代わりにねじれ構造を導入することで、量子線形空間の圏における Manin の内部 coHom 構成を一般化すること。
• 標準的テンソル積では捉えきれない、coHom 対象の座標環とその定義域との間の非可換性を扱うため。
• ねじれテンソル積を用いて、因子間の非可換相互作用を制御する新しいクラスの量子行列空間を定義すること。
• ねじれた coEnd 2-ホモロジー代数が標準的 coEnd 2-ホモロジー代数の 2-コサイクルねじれとして現れるための条件を確立し、既知の量子群同値性を一般化すること。
• cochain 量子複体を用いた量子空間におけるねじれ変換のより広範な理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 参考文献 [1] のねじれテンソル積の概念を、有限生成代数（FGA）の圏に適応し、双対化することで量子線形空間（QLS）の圏における対象を定義する。
• ねじれ写像 $\tau_{\mathcal{A},\mathcal{B}}$ によってパrameter化された、QLS 内のねじれた内部 coHom 対象 $\underline{hom}^{\Upsilon}[\mathcal{B},\mathcal{A}]^{op}$ の族を導入する。
• 包含関係 $\underline{hom}^{\Upsilon}[\mathcal{B},\mathcal{A}]\circ_{\tau}\mathcal{B} \subset \underline{hom}^{\Upsilon}[\mathcal{B},\mathcal{A}]\otimes_{\tau}\mathcal{B}$ を満たすねじれた積空間 $[\underline{hom}^{\Upsilon}[\mathcal{B},\mathcal{A}]\circ_{\tau}\mathcal{B}]^{op}$ を定義する。
• 写像の部分クラス $\mathcal{A} \to \mathcal{H}\circ_{\tau}\mathcal{B}$ における初期図式を用いて普遍対象を構成し、ねじれた coHom 構造の整合性を保証する。
• Drinfeld の 2-コサイクルねじれ手続きを適用し、適切な条件下で $\underline{end}^{\Upsilon}[\mathcal{A}]$ が $\underline{end}[\mathcal{A}]$ の 2-コサイクルねじれであることを示す。
• ねじれ写像の因子可能集合を用い、特に $D^k c_k + \lambda \cdot 1 = 0$ のような関係が存在する場合の、商代数を含むテンソル積上での $\widehat{\tau}$ の整合性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子線形空間における内部 coHom 構成を、coHom 対象の座標環とその定義域との間の非可換性を捉えるために、どのように一般化できるか。
• RQ2 基になる代数が商関係を含む場合に、ねじれた coHom 対象 $\underline{hom}^{\Upsilon}[\mathcal{B},\mathcal{A}]$ が整合的であるための条件は何か。
• RQ3 ねじれた coEnd 2-ホモロジー代数 $\underline{end}^{\Upsilon}[\mathcal{A}]$ と標準的 coEnd 2-ホモロジー代数 $\underline{end}[\mathcal{A}]$ の間で、2-コサイクルねじれによってどのように関係づけられるか。
• RQ4 ねじれた coHom 対象の構成を、cochain 量子複体を用いた量子空間におけるねじれ変換の一般理論に拡張できるか。
• RQ5 なぜ標準的テンソル積は、量子行列空間における因子間の非可換相互作用を捉えきれないのか。そして、ねじれを用いることで、この問題はどのように是正できるか。

主な発見

• ねじれた内部 coHom 対象 $\underline{hom}^{\Upsilon}[\mathcal{B},\mathcal{A}]$ は、写像の部分クラス $\mathcal{A} \to \mathcal{H}\circ_{\tau}\mathcal{B}$ における普遍対象として構成され、ねじれは写像 $\tau_{\mathcal{A},\mathcal{B}}$ によって制御される。
• ねじれた積 $\underline{hom}^{\Upsilon}[\mathcal{B},\mathcal{A}]\circ_{\tau}\mathcal{B}$ は包含関係 $\underline{hom}^{\Upsilon}[\mathcal{B},\mathcal{A}]\circ_{\tau}\mathcal{B} \subset \underline{hom}^{\Upsilon}[\mathcal{B},\mathcal{A}]\otimes_{\tau}\mathcal{B}$ を満たし、ねじれ構造と整合的であることが保証される。
• 特定の量子空間に対して、ねじれた coEnd 2-ホモロジー代数 $\underline{end}^{\Upsilon}[\mathcal{A}]$ は、標準的 coEnd 2-ホモロジー代数 $\underline{end}[\mathcal{A}]$ の 2-コサイクルねじれである。これは、GL_q(n) と GL_{q,\phi}(n) 間のねじれ同値性を一般化する。
• $\mathbf{H}\circ\mathbf{G}\otimes\mathbf{C}$ 上でのねじれ写像 $\widehat{\tau}$ の整合性には、$\left(h_n^j - \hat{h}_n^j\right)\alpha_j^{l\mu} = 0$ が要求されるが、これは一般には成立せず、追加の制約が課される必要がある。
• $\mathbf{C}$ が関係 $D^k c_k + \lambda \cdot 1 = 0$（$\lambda \neq 0$）で定義される場合、$\mathbf{G}$ の生成子 $g_j^l$ は線形独立ではなくなるため、$\tau$ が整合的であるためには $\hat{g}_j^l = g_j^l$ が成立しなければならない。
• 本構成により、multiplicative cochain 量子複体を用いた量子空間のねじれ変換の今後の研究のための枠組みが確立され、すべての $\underline{hom}^{\Upsilon}[\mathcal{B},\mathcal{A}]$ が 2-コサイクルねじれによって標準的 coHom 対象とゲージ同値であることが示唆される。