[論文レビュー] Twisted K-theory and loop group representations

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins+1 more|ArXiv.org|Dec 8, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用数 83

ひとこと要約

本稿は、任意のコンpakトなリー群に対して、捩れたG--equivariant K理論を用いたVerlinde環の位相的実現を確立し、共形場理論における融合積をK理論のカップ積に一致させ、エネルギー作用素を共役商スタック上の円作用に関連付ける。この研究は、以前の結果を単連結でない群へと拡張し、ループ群フラッグ多様体に対して位相的Peter-Weyl定理を提供する。

ABSTRACT

This is the third paper of a series relating the equivariant twisted $K$-theory of a compact Lie group $G$ to the ``Verlinde space'' of isomorphism classes of projective lowest-weight representations of the loop groups. Here, we treat arbitrary compact Lie groups. In addition, we discuss the relation to semi-infinite cohomology, the fusion product of Conformal Field theory, the rôle of energy and the topological Peter-Weyl theorem.

研究の動機と目的

• ループ群の正エネルギー表現と捩れたG--equivariant K理論の同型を、連結性や基本群の torsion に関する事前の仮定を除いて、任意のコンパクトなリー群へ一般化すること。
• 共形場理論における融合積を、捩れたK理論におけるカップ積に一致させることで、この代数的構造の位相的基盤を確立すること。
• 共形場理論におけるエネルギー作用素を、商スタック $ G/G $ 上の自然な円作用に由来するものとして実現することにより、幾何学的および物理的構造を結びつけること。
• Borel-Weil定理をループ群の積のフラッグ多様体（「輪状」フラッグ多様体）へ拡張し、ループ群表現に対する位相的Peter-Weyl定理を提供すること。
• 既知の表現論的構成（例えば、半無限の誘導および制限）を、捩れたK理論を用いて再構成することで、位相的および代数的アプローチを統合すること。

提案手法

• ループ群 $ LG $ の最低重量表現のVerlinde空間の位相的モデルとして、捩れたG--equivariant K理論 $ K^ au_G(G) $ を用い、 twisting $ \tau $ を正則なものとすること。
• Weyl群と等化的位相の技術を用いて、$ K^ au_G(G) $ の計算を最大トーラス $ T $ 及びその正規化群 $ N $ に還元すること。
• 各適切なループ群表現にクラスを割り当てる、捩れたK理論におけるディラック族を構成し、位相的手段により同型を回復すること。
• 共形場理論における融合積を $ K^ au_G(G) $ におけるカップ積に一致させ、ホロモーフィック誘導を用いて対応を実現すること。
• Verlinde位相的場理論の位相的双線形形式を、反対のレベルにおける既約表現間の双対ペアリングとして同定すること。
• 一般化されたフラッグ多様体のK理論的クラスを、K理論のインデックス定理として解釈するために、位相的Peter-Weyl定理を一般化フラッグ多様体に適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結性や基本群の torsion がないという仮定を課さずに、コンパクトなリー群のVerlinde環を、捩れたK理論を用いてどのように位相的に実現できるか？
• RQ2 2次元共形場理論における融合積は、捩れたK理論の枠組みの中でどのように位相的に解釈できるか？
• RQ3 共形場理論におけるエネルギー作用素は、商スタック $ G/G $ 上の幾何的構造からどのように生じるか？
• RQ4 FeiginとFrenkelの半無限の誘導および制限函手は、捩れたK理論の構成から再現可能か？
• RQ5 ループ群のフラッグ多様体に対して、Borel-Weil定理の位相的類似物は何か？ そして、Verlinde TFTの双線形形式とどのように関係するか？

主な発見

• 共形場理論における融合積は、捩れたG--equivariant K理論 $ K^ au_G(G) $ におけるカップ積と同型であり、この代数的演算の位相的実現を提供する。
• 位相的に構成されたVerlinde位相的場理論の双線形形式は、反対のレベルにおける既約表現間の双対ペアリングと一致する。
• ループ群表現上のエネルギー作用素は、スタック $ G/G $ 上の円作用に自然に由来し、物理的および幾何的構造を結びつける。
• FeiginとFrenkelの半無限の制限および誘導函手は、捩れたK理論における制限および誘導として再現され、これらの構成の位相的基盤が確立される。
• ループ群 $ LG \times LG $ の輪状フラッグ多様体に対するBorel-Weil定理は、位相的Peter-Weyl定理として解釈され、TFTの双線形形式がK理論を用いて計算される。
• 一般化されたループ群フラッグ多様体に対するインデックス定理が確立され、捩れたK理論がその位相的側面を提供する。これは、基本群が自由な連結群に対する以前の結果を一般化する。