[論文レビュー] Twisted Novikov homology and circle-valued Morse theory for knots and links

Hiroshi G. Okuno, Andrei Pajitnov|Osaka City University (Osaka City University)|Dec 19, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、fundamental group の表現を用いて古典的 Novikov homology を精緻化することで、結び目とリンクの Morse-Novikov 数を研究する計算可能な不変量としてねじれ Novikov homology を導入する。本稿はねじれ homology を用いて Morse-Novikov 数の下界を確立し、Kinoshita-Terasaka または Conway の結び目の n 個の連結和について、Morse-Novikov 数が 2n/5 以上 2n 以下であることを示している。計算は Kodama KNOT プログラムにより支援され、円周値 Morse 理論からの理論的境界が用いられている。

ABSTRACT

The Morse-Novikov number MN(L) of a smooth link L in the three-dimensional sphere is by definition the minimal possible number of critical points of a regular circle-valued Morse function on the link complement (the term regular means that the Morse function must have nice behaviour in a tubular neighbourhood of L). Novikov homology provides lower bounds for MN(L). In the present paper we introduce the notion of twisted Novikov homology, which allows to obtain better lower bounds for MN(L) than the usual Novikov homology. Our twisted Novikov homology is a module over the Novikov ring Z((t)) but it contains the information coming from the non abelian homological algebra of the group ring of the fundamental group of the link complement. Using this technique we prove that the Morse-Novikov number of the knot nC (the connected sum of n copies of the Conway knot) is not less than 2n/5 for every positive integer n. We prove also that MN(nC) is not greater than 2n. The same estimates hold for the Morse-Novikov numbers of the connected sum of n copies of the Kinoshita-Terasaka knot.

研究の動機と目的

• Z((t)) 上のねじれ homology を用いて、リンクのための計算可能でアーベルでない Novikov homology の一般化を開発すること。
• ねじれ Novikov homology を用いてリンクの Morse-Novikov 数の下界を提供すること。
• ねじれ Novikov homology が結び目の連結和に関して加法的であることを示すこと。
• Kinoshita-Terasaka 結び目および Conway 結び目の n 重連結和の Morse-Novikov 数を特定すること。

提案手法

• アーベル的 Novikov homology と非アーベル表現の特徴を組み合わせた Z((t)) 上の加群としてねじれ Novikov homology を定義する。
• 有限個の臨界点を持つ円周値 Morse 写像 f: C_L → S^1 を用いて、Morse-Novikov 数をそのような臨界点の最小個数として定義する。
• 群環の Novikov 完備化上に構成された Novikov 複体を、表現 ρ: π₁(C_L) → GL(n, Z((t))) によってねじれさせ、ねじれ homology 群を導出する。
• Novikov 不等式を適用して、ねじれ Novikov homology のランクから Morse-Novikov 数の下界を導出する。
• 特定の結び目についてねじれ Alexander 多項式および homology 不変量を計算するために Kodama KNOT プログラムを用いる。
• sutured manifold のハンドル分解およびヘガード分割に関する結果 [6], [7] を活用して上界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれ Novikov homology はリンクの Morse-Novikov 数に対して効果的な下界を提供できるか？
• RQ2 ねじれ Novikov homology は結び目の連結和に関して加法的か？
• RQ3 Kinoshita-Terasaka 結び目または Conway 結び目の n 重連結和の Morse-Novikov 数は何か？
• RQ4 ねじれ Novikov homology はねじれ Alexander 多項式および古典的ファイバリング障害とどのように関係するか？
• RQ5 すべての表現においてねじれ Novikov homology が消えることは、ファイバードリンクを検出するのに十分か？

主な発見

• Kinoshita-Terasaka 結び目の n 重連結和の Morse-Novikov 数は、MN(nKT) ≥ 2n/5 を満たす。
• Conway 結び目の n 重連結和の Morse-Novikov 数は、MN(nC) ≥ 2n/5 を満たす。
• ハンドル分解および sutured manifold 技法を用いて、上界 MN(nKT) ≤ 2n および MN(nC) ≤ 2n が確立された。
• ねじれ Novikov homology は連結和に関して加法的であり、任意の結び目 K, L に対して MN(K#L) = MN(K) + MN(L) が成り立つ。
• 不変量の計算は Kodama KNOT プログラムを用いて実施され、この手法の有効性が確認された。
• 本稿は、ねじれ Novikov homology がしばしば最良の下界を与える証拠を提示しており、ファイバードリンクを検出する応用上の有用性を示唆している。