[論文レビュー] Twisted Patterson-Sullivan measures and applications to amenability and coverings

Rémi Coulon, Rhiannon Dougall+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、強い正再帰性という条件下で、離散群のGromov-双曲的空間への作用に関して、臨界指数の等価性と共アーメニティの間の鋭い同値性を確立する。これは、古典的な臨界指数とアーメニティに関する結果を一般化したものであり、主な革新は、多様な幾何的設定において臨界指数の剛性と共アーメニティを統一的に扱えるようにする、ねじれたPatterson-Sullivan測度の導入である。

ABSTRACT

Let $Γ'

研究の動機と目的

• Gromov-双曲的空間における群の作用の文脈で、部分群Γ′ ⊂ Γの臨界指数が全群Γの臨界指数に等しい条件を特定すること。
• 従来、幾何的に有限または凸コンパクトな作用に限定されていた結果を、より弱く一般性の高い条件「強い正再帰性」を導入することで一般化すること。
• この条件の最適性を、条件が成立しない場合の反例を構成することで示すこと。
• 非コンパクトな設定における臨界指数の振る舞いやユニタリ表現を分析するための新規な道具、ねじれたPatterson-Sullivan測度の開発。
• Kazhdanの性質(T)をもつ群にこの枠組みを適用し、臨界指数に一様なギャップをもつ定量的成長剛性結果を証明すること。

提案手法

• 群の作用が、コンパクト集合の外での成長率と全臨界指数との間に明確な成長ギャップを持つ場合に、強い正再帰的作用と定義する。
• Gromov境界上の作用素値測度の共形族と、ヒルベルト空間の超極限を用いて、ねじれたPatterson-Sullivan測度を構成する。
• Hopfの議論と可測な測地的フライトの保存性を用いて、ねじれた測度が標準的Patterson-Sullivan測度に関して絶対連続であることを確立する。
• Banach格子とBochner積分の理論を用いて、可測セクションのL^p空間の正値性と順序完備性を扱い、ベクトル値測度を扱う。
• ねじれた測度空間における不変ベクトルを用いて、関連するユニタリ表現におけるΓ不変ベクトルの存在を特徴づけ、共アーメニティを特徴付ける。
• Bader-Furmanの可測測地的フライトの理論を活用し、Bowen-Margulis測度のエルゴード性と有限性を解析することで、臨界指数比較のためのHopfの議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromov-双曲的空間における群の作用が、どのような幾何的条件下で部分群の臨界指数が全群の臨界指数に等しくなるか。
• RQ2 非凸コンパクト的または非幾何的に有限な群作用において、共アーメニティの概念と臨界指数の等価性はどのように関係するか。
• RQ3 臨界指数の剛性結果は、実双曲空間やコンパクト作用という古典的設定を超えて拡張可能か。
• RQ4 ねじれたPatterson-Sullivan測度は、共アーメニティの検出と臨界指数等価性の特徴づけにおいて果たす役割は何か。
• RQ5 Kazhdanの(T)群の部分群が強い正再帰性をもって作用する場合、臨界指数に一様なギャップが存在するか。

主な発見

• 群ΓがGromov-双曲的空間上で強い正再帰的作用をしている限り、部分群Γ′ ⊂ Γの臨界指数がΓの臨界指数に等しいことは、Γ′がΓにおいて共アーメニティであることと同値である。
• この結果は最適である：強い正再帰性の条件が成立しない場合に反例が存在し、仮定を弱めることが不可能であることが示されている。
• 主要定理の定量的バージョンでは、Kazhdanの(T)群が強い正再帰性をもって作用する場合、任意の部分群は、臨界指数がh_Γよりε以上小さいか、有限指数部分群であることが示される。
• ねじれたPatterson-Sullivan測度は、ヒルベルト空間の超極限とユニタリ表現を用いて、Gromov境界上に共形族の作用素値測度として構成される。
• ねじれた測度は標準的Patterson-Sullivan測度に関して絶対連続であり、そのΓ不変ベクトルはΓ′がΓにおいて共アーメニティであることとちょうど一致する。
• この枠組みは、非凸コンパクト的かつ非幾何的に有限な作用を含む広範なクラスの作用に適用可能であり、双曲幾何学および組合せ的群論における従来の結果を一般化する。