[論文レビュー] Twisted Quantum Deformations of Lorentz and Poincaré algebras

V.N. Tolstoy|ArXiv.org|Dec 25, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、$D=4$ ポアンカレ代数の多パラメータ量子変形に対して明示的なねじれを提示し、Zakrzewskiの分類から得られる20個の古典的$r$-行列のうち18個が、従属的なアーベル型およびジョルダン型$r$-行列に分解可能であることを示している。対応する量子変形は順序付き指数関数的ねじれを用いて構成され、相対論的対称性の非標準的量子変形を体系的に扱うフレームワークを提供する。

ABSTRACT

We discussed twisted quantum deformations of D=4 Lorentz and Poincare algebras. In the case of Poincare algebra it is shown that almost all classical r-matrices of S.Zakrzewski classification can be presented as a sum of subordinated r-matrices of Abelian and Jordanian types. Corresponding twists describing quantum deformations are obtained in explicit form. This work is an extended version of the paper \url{arXiv:0704.0081v1 [math.QA]}.

研究の動機と目的

• $D=4$ ポアンカレ代数の量子変形に対して明示的なねじれを体系的に構成すること。
• Zakrzewskiの分類から得られる20個の古典的$r$-行列を、従属的なアーベル型およびジョルダン型に分類・分解すること。
• これらの変形に対応するねじれ要素$F$の明示的公式を提供すること。
• 従属関係を用いて、多パラメータ変形への量子変形の枠組みを拡張すること。
• 将来のポアンカレ超代数における$r$-行列分類の基盤を築くこと。

提案手法

• $r$-行列間の従属関係、すなわち$r_1 \succ r_2$ が$\delta_{r_1}(\text{Sup}(r_2)) = 0$ を満たすとき、順序付き量子化が可能であることを用いた。
• 指数写像によるねじれ構成：アーベル型では$F_{r_A} = \exp(\frac{1}{2}\sum x_i \wedge y_i)$、ジョルダン型では$F_{r_{J_n}} = \exp(\xi \sum x_i \otimes y_i e^{-2t_i\sigma}) \exp(2x_0 \otimes \sigma)$を適用。
• 合成$r$-行列の総ねじれを、$r_A \succ r_J$ のとき$F_r = F_{r_J} F_{r_A}$ として表し、コycle条件と整合性を保証。
• 標準的なねじれ手順を用いた：$\Delta^{(F)}(a) = F \Delta(a) F^{-1}$ および $S^{(F)}(a) = u S(a) u^{-1}$ で、$u = \sum f^{(1)}_i S(f^{(2)}_i)$ と定義。
• 20個の$r$-行列のうち18個を、従属的なアーベル型およびジョルダン型成分の和に写像し、ねじれの順序付き指数関数的構成を可能にした。
• すべての構成されたねじれがコycle方程式および正規化条件を満たすことを検証し、妥当なホップ代数の変形であることを保証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアンカレ代数の古典的$r$-行列で、同次的なCYBEを満たすものすべてが、従属的なアーベル型およびジョルダン型に分解可能か？
• RQ2 このような分解された$r$-行列から生じる量子変形を記述する明示的ねじれ公式は何か？
• RQ3 従属関係$r_1 \succ r_2$ は、順序付きねじれを体系的に構成するためにどのように利用可能か？
• RQ4 類似の分解技術を用いて、ポアンカレ超代数における$r$-行列分類を拡張可能か？
• RQ5 これらの多パラメータねじれ下での普遍包あらわし代数の変形の構造はいかなるものか？

主な発見

• Zakrzewskiの$D=4$ ポアンカレ代数における古典的$r$-行列分類の20個のうち、18個が、従属的なアーベル型およびジョルダン型$r$-行列の和として表現可能である。
• 各$r$-行列に対して、$r_A \succ r_J$ を満たす順序付き積$F_{r_J} F_{r_A}$ として明示的ねじれ$F_r$ が構成された。
• アーベル型のねじれは$F_{r_A} = \exp(\alpha_1 P_3 \wedge P_0 + \alpha_2 P_2 \wedge P_1)$ で与えられ、ジョルダン型では指数関数の内部に$\sigma = \frac{1}{2}\ln(1 + \xi y_0)$ を用いた。
• $r_{17}$ のねじれは$F_{r_{17}} = \exp(\sigma_+ \otimes (h + \frac{\alpha_2}{\beta_1}P_1)) \cdot \exp(\alpha_1 P_2 \wedge P_1)$ で、$\sigma_+ = \frac{1}{2}\ln(1 + \xi \beta_1^{-1} P_+)$ と定義される。
• $r_{18}$ のねじれは$F_{r_{18}} = \exp(\alpha P_2 \wedge P_1) \cdot \exp(\sigma_+ \otimes (h + \frac{\beta_2}{\beta_1}h'))$ で与えられ、パラメータが変更された同じ構造を持つ。
• 残りの2つの$r$-行列（$r_{19}, r_{20}, r_{21}$）は純粋にアーベル型であり、そのねじれは可換生成子の指数関数として単純に表される。