[論文レビュー] Twisted representations of vertex operator algebras and associative algebras

Chongying Dong, H. Li+1 more|ArXiv.org|Feb 21, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、頂点作用素代数 $V$ と有限位数の自己同型 $g$ に関連する、結合代数 $A_{g,n}(V)$ の族を構成し、可及的 $V$-加群とこれらの代数上の加群の間のカテゴリカル同値を確立する。主な結果は、$V$ が $g$-有理的であることと、すべての $A_{g,n}(V)$ が有限次元で半単純な代数であることの必要十分条件である。

ABSTRACT

Let V be a vertex operator algebra and g an automorphism of order T. We construct a sequence of associative algebras A_{g,n}(V) with n\in\frac{1}{T}\Z nonnegative such that A_{g,n}(V) is a quotient of A_{g,n+1/T}(V) and a pair of functors between the category of A_{g,n}(V)-modules which are not A_{g,n-1/T}(V)-modules and the category of admissible V-modules. These functors exhibit a bijection between the simple modules in each category. We also show that V is g-rational if and only if all A_{g,n}(V) are finite-dimensional semisimple algebras.

研究の動機と目的

• 頂点作用素代数 $V$ の自己同型 $g$ によるねじれ加群と、系列の結合代数 $A_{g,n}(V)$ 上の加群の間のカテゴリカル対応を確立すること。
• 結合代数の観点から、頂点作用素代数のねじれ表現の構造を理解すること。
• $A_{g,n}(V)$ の表現論を用いて $V$ の $g$-有理的性を特徴付けること。
• 有限次元結合代数を用いて、$V$ の可及的加群を体系的に分析するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 自己同型 $g$ の位数を $T$ とするとき、$n \in \frac{1}{T}\mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対して、系列 $A_{g,n}(V)$ の結合代数を定義する。
• $A_{g,n}(V)$-加群の圏と $A_{g,n-1/T}(V)$-加群でない加群の圏の間の函手を構成する。
• これらの函手が、それぞれの圏における単純加群の間で全単射を誘導することを示す。
• $V$-加群の構造と $g$ の作用を用いて、系列内のより大きな代数の商として $A_{g,n}(V)$ を定義する。
• 頂点作用素代数と加群圏の理論を活用し、$A_{g,n}(V)$ の半単純性と有限次元性が $g$-有理的性に与える影響を関連付ける。
• 表現論的技法を応用して加群圏を分析し、函手による圏の同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点作用素代数 $V$ の自己同型 $g$ によるねじれ表現を、結合代数を用いて体系的に分類する方法は何か？
• RQ2 可及的 $V$-加群の圏と、代数 $A_{g,n}(V)$ 上の加群の圏との間の正確な関係は何か？
• RQ3 $A_{g,n}(V)$ にどのような条件が満たされると、頂点作用素代数 $V$ が $g$-有理的になるか？
• RQ4 系列における代数 $A_{g,n}(V)$ 相互の関係は何か？また、$V$ からどのような構造を引き継ぐか？
• RQ5 $A_{g,n}(V)$ の有限次元性と半単純性が、$V$ の $g$-有理的性を完全に特徴付けることができるか？

主な発見

• $A_{g,n}(V)$-加群の圏と可及的 $V$-加群の圏の間の函手は、それらの単純加群の間で全単射を誘導する。
• $A_{g,n}(V)$ は $A_{g,n+1/T}(V)$ の商であり、結合代数の下降的鎖をなす。
• $V$ が $g$-有理的であることと、すべての代数 $A_{g,n}(V)$ が有限次元かつ半単純であることの必要十分条件である。
• この構成により、ねじれ $V$-加群と代数 $A_{g,n}(V)$ 上の加群の間の完全なカテゴリカル同値が得られる。
• このフレームワークにより、$V$ の表現論が有限次元結合代数の研究に還元可能である。
• 本結果は、頂点作用素代数と結合代数の関係を、自己同型によるねじれ加群の状況に一般化する。