[論文レビュー] Twisted Ruelle zeta function and complex-valued analytic torsion

Polyxeni Spilioti|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、奇数次元コンパクトな双曲的多様体上のねじれRuelleゼータ関数と精密な解析 torsion の間の明確な関係を確立する。単位表現に近いアセイクリックな表現に対して、ゼータ関数は原点で正則であり、[BK2]で定義された精密な解析 torsion の二乗に、奇数性の演算子の偶数部のエータ不変量を含む指数関数的要因を乗じたものに等しい。

ABSTRACT

In this paper, we study the twisted Ruelle zeta function associated with the geodesic flow of a compact, hyperbolic, odd-dimensional manifold $X$. The twisted Ruelle zeta function is associated with an acyclic representation $\chi\colon \pi_{1}(X) ightarrow \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$, which is close enough to an acyclic, unitary representation. In this case, the twisted Ruelle zeta function is regular at zero and equals the square of the refined analytic torsion, as it is introduced in \cite{BK2}, multiplied by an exponential, which involves the eta invariant of the even part of the odd-signature operator associated with $\chi$.

研究の動機と目的

• 奇数次元コンパクトな双曲的多様体上でのねじれRuelleゼータ関数の原点における解析的性質を調査すること。
• 単位表現に近いアセイクリックで非ユニタリな表現の文脈において、ねじれRuelleゼータ関数と精密な解析 torsion の関係を理解すること。
• 特に、奇数性の演算子の偶数部のエータ不変量といったスペクトル不変量が、力学的ゼータ関数と解析 torsion を結ぶ際に果たす役割を特定すること。
• 双曲的多様体の文脈において、ユニタリ表現に関する既知の結果を、アセイクリックでユニタリに近い非ユニタリ表現へと拡張すること。

提案手法

• コンパクトな奇数次元の双曲的多様体上の地図流に関連するねじれRuelleゼータ関数を分析する。
• π₁(X) → GLₙ(ℂ) であるような表現 χ で、アセイクリックかつユニタリ表現に十分近いものを考察する。
• 奇数性の演算子のスペクトル理論を用いて、その偶数部のエータ不変量を定義する。
• 中心的な解析的不変量として、[BK2]で定義された精密な解析 torsion を用いる。
• エータ不変量を含む指数関数的要因を通じて、ゼータ関数と torsion 間の関数的関係を導出する。
• スペクトル理論的および表現論的技法を用いて、ゼータ関数の原点における正則性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アセイクリックで非ユニタリな表現が奇数次元の双曲的多様体上で与えられたとき、ねじれRuelleゼータ関数は原点でどのように振る舞うか？
• RQ2 この文脈において、ねじれRuelleゼータ関数と精密な解析 torsion の間の正確な関係は何か？
• RQ3 奇数性の演算子の偶数部のエータ不変量は、ゼータ関数と torsion 間の関数的方程式にどのように関与するか？
• RQ4 ユニタリ表現に関する結果を、ユニタリに近いアセイクリック表現へとどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 ゼータ関数と解析 torsion の二乗との間の補正因子を支配するスペクトル不変量は何か？

主な発見

• 表現 χ がアセイクリックでユニタリ表現に十分近いとき、ねじれRuelleゼータ関数は原点で正則である。
• 原点において、ゼータ関数は[ BK2 ]で定義された精密な解析 torsion の二乗に等しい。
• ゼータ関数と torsion の二乗との間の補正因子は、奇数性の演算子の偶数部のエータ不変量を含む指数関数的要因である。
• この結果により、力学的ゼータ関数と解析 torsion 間の既知の関係が、非ユニタリでアセイクリックな表現へと拡張された。
• 補正を支配するスペクトル不変量は、明確に奇数性の演算子の偶数部のエータ不変量として特定された。
• 解析は、地図流（力学的性質）、表現論（アセイクリックな χ）、およびスペクトル幾何学（エータ不変量）の間の相互作用に依存している。