[論文レビュー] Twisted sectors for tensor product VOAs associated to permutation groups

Katrina Barron, Chongying Dong+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 1998

Advanced Algebra and Logic被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$ g $ が $ k $-サイクル自己同型であるとき、テンソル積頂点演算子代数（VOA）$ V^{ imes k} $ の弱、適切、および通常の $ g $-twisted モジュールのカテゴリが、$ V $-モジュールの対応するカテゴリと同型であることを確立する。任意の置換自己同型 $ g $ に対しては、$ V $ が有理的である場合に、弱 $ V $-モジュールから弱 $ g $-twisted モジュールを構成する手法を用いて、適切な $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールのカテゴリが半単純であることを証明する。

ABSTRACT

Let V be a vertex operator algebra. It is shown that the categories of weak, admissible and ordinary g-twisted modules for the tensor product VOA V ⊗k are isomorphic to the categories of weak, admissible and ordinary V-modules respectively where g is a k cycle automorphism of V ⊗k. For arbitrary permutation automorphism g of V ⊗k the category of admissible g-twisted modules for V ⊗k is semi simple and the simple objects are determined if V is rational. The key result is a construction of the weak g-twisted V ⊗k-modules from weak V-modules. 1

研究の動機と目的

• 置換自己同型の下でのテンソル積VOAのtwistedモジュールの構造を理解すること。
• $ g $ が $ k $-サイクルであるとき、$ V^{ imes k} $ のtwistedモジュールカテゴリと $ V $-モジュールのカテゴリの間の同型を確立すること。
• 任意の置換自己同型 $ g $ に対して、適切な $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールのカテゴリにおける単純対象を分類すること。
• 弱 $ V $-モジュールから弱 $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールを体系的に構成する手法を提供すること。

提案手法

• $ k $-サイクル自己同型 $ g $ がテンソル積VOA $ V^{ imes k} $ に作用することにより、$ g $-twisted モジュールを定義する。
• 弱 $ V $-モジュールから弱 $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールを、持ち上げ手続きを用いて構成する。
• 任意の置換自己同型 $ g $ に対して、適切な $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールのカテゴリが半単純であることを証明する。
• $ V $ が有理的である場合に、適切な $ g $-twisted モジュールのカテゴリにおける単純対象を特徴付ける。
• $ k $-サイクル $ g $ に対して、$ V^{ imes k} $ の $ g $-twisted モジュールと $ V $-モジュールのカテゴリの間の同型を確立する。
• 置換群の表現論を応用して、テンソル積設定におけるtwistedモジュールの構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ g $ が $ k $-サイクル自己同型であるとき、$ V^{ imes k} $ の弱、適切、および通常の $ g $-twisted モジュールのカテゴリは、$ V $ のそれらのカテゴリとどのように関係するか？
• RQ2 $ g $ が任意の置換自己同型であるとき、適切な $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールのカテゴリの構造はどのようなものか？
• RQ3 弱 $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールは、弱 $ V $-モジュールから体系的に構成可能か？
• RQ4 適切な $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールのカテゴリが半単純であるための条件は何か？
• RQ5 $ V $ が有理的である場合、適切な $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールのカテゴリにおける単純対象は何か？

主な発見

• $ g $ が $ k $-サイクル自己同型であるとき、弱、適切、および通常の $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールのカテゴリは、$ V $-モジュールの対応するカテゴリと同型である。
• 任意の置換自己同型 $ g $ に対して、適切な $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールのカテゴリは半単純である。
• $ V $ が有理的である場合、適切な $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールのカテゴリにおける単純対象は完全に決定されている。
• 弱 $ V $-モジュールから弱 $ g $-twisted $ V^{ imes k} $-モジュールを構成する手法が提供され、モジュールカテゴリ間の直接的な関係が確立された。
• $ k $-サイクル $ g $ に対するモジュールカテゴリの同型は、このような対称性の下での $ V^{ imes k} $ の表現理論が $ V $ のそれへ還元されることを示している。
• 半単純性の結果は、$ g $ が $ V^{ imes k} $ の任意の置換自己同型である限り、特定の置換に依存しない。